PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Diskussion om matematisk konstruktivisme m.m.
Kære Studiebrevsmodtagere!
Tia Hansen og Jens Mammen, 19.12.94
Som I kan se af nedenstående, har jeg [...] modtaget nogle spørgsmål fra Tia [..].
Jeg har uddraget spørgsmålene af Tias brev nedenfor og forsøgt at besvare dem
hver for sig. [...].
[Tia:] For det første: Du modstiller "moderne matematik" med "konstruktivistisk
matematik". Er det rigtigt forstået, at konstruktivistisk matematik er: forsøg
på at lave et system, hvor alle mængder kan eksplicit defineres ved hjælp af
regler eller kriterier? Hvis nej, hvad så?
[Jens:] Det må jeg vist svare ja til.
[Tia:] Hvis ja, er påstanden så, at der ikke findes andre mængder end dem, der
kan - og hvad menes med det? At der ikke eksisterer noget i verden, som...? (vel
næppe). At det ikke er meningsfuldt at inddrage dem i et matematisk system (en
beskrivemåde af verden)?
[Jens:] Det må være det sidste, som de (konstruktivisterne) mener generelt. Men
nogle radikalister blandt dem mener nok også det første. Se nedenfor.
[Tia:] At et matematisk system ikke er en beskrivemåde af verden? Eller?
[Jens:] Jeg vil tro, at konstruktivister er delt på dette spørgsmål. Men hvis de
mener, at matematikken beskriver verden, må de altså også mene, at verden er
meget "regelmæssig". Det kan jeg have visse AI-folk mistænkt for at mene.
[Tia:] Og for resten: Findes der ikke længere tilhængere af en konstruktivistisk
matematik (f.eks. "klassisk AI"-folk?).
[Jens:] Jo, jeg vil netop tro, at der blandt AI-folk trives en konstruktivistisk
holdning til matematik. Da computere som formelt system kan beskrives ved et
endeligt antal tilstande med faste overgange, vil jeg endda tro, at mange af dem
hører til den særligt radikale konstruktivisme, som kaldes finitisme. Altså en
holdning, der ikke regner med eksistensen af uendelige mængder. Imidlertid vil
jeg også tro, at en konstruktivistisk holdning er meget sjælden i dag blandt
egentlige matematikere, fordi den udelukker en stor del af de teoretiske redskaber,
som er nødvendige i den moderne matematik. Det er en meget lille del af
den faktiske matematik i dag, som er tilgængelig for udelukkende konstruktivistiske
metoder. Konstruktivismen er ikke blot en metodemæssig begrænsning,
men også en indskrænkning af selve det matematiske "genstandsfelt". I dag studerer
man "konstruktive mængder" som et specielt tilfælde inden for "moderne
matematik". Det modsatte er ikke muligt, hvilket afgør sagen for alle matematikere,
der vil være med, hvor det foregår. (Matematikere er pudsigt nok og i
strid med almindelige fordomme ikke så metodisk konservative eller reduktio-
17