PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 2. Jens Mammen, 12.12.94
II Om mængder og mængdealgebra
IIa Hvad er en mængde?
Det er altid svært at starte. I matematik gælder det som med alt andet, at der
ikke er nogen absolut begyndelse, ingen faste primitive, ubetvivlelige, utvetydige
grundbegreber, der kan begyndes med. Vi må i stedet starte med at hoppe ind
et sted, der umiddelbart forekommer enkelt og overskueligt. Men det, vi begynder
med, er ikke mere fundamentalt, end at samtlige anvendte begreber kan anfægtes,
kræver yderligere definitioner og diskussion etc., som jeg ikke kan
springe helt over, selv om jeg siden vil vende tilbage til dem for at behandle
dem mere selvstændigt.
Hvad matematik i det hele taget handler om, en genstandsbestemmelse af matematikken,
kan vi heller ikke begynde med. Den har selv forudsætninger, som
vi først successivt må opbygge.
Jeg har valgt at starte med en foreløbig indkredsning af det matematiske begreb
en mængde (engelsk: set). En mængde er en samling af objekter eller genstande,
som kan bestå af stort set hvad som helst. Det kan være æbler og pærer, tal,
figurer, bogstaver, etc. De enkelte objekter i en mængde kaldes i matematikken
for mængdens elementer (engelsk: elements). Der kan være endeligt eller
uendeligt mange elementer i en mængde. Hvad der menes med "uendeligt
mange" vender jeg tilbage til i et senere studiebrev. Det er nemlig ikke helt
uproblematisk.
I en endelig mængde (engelsk: finite set) er der et endeligt antal elementer, dvs.
at de kan ordnes i en række og tælles, og at deres antal kan angives med et såkaldt
naturligt tal (engelsk: natural number), f.eks. 1, 7 eller 2513. Til de naturlige
tal regnes de hele positive tal og 0 (nul). Som et særtilfælde af en endelig
mængde regnes nemlig med en mængde med nul elementer, den såkaldte tomme
mængde (engelsk: the empty set), der sædvanligvis betegnes med bogstavet Ø
(det næstsidste bogstav i det danske alfabet, som på denne måde er kommet til
international ære og værdighed, selv om grunden vist blot er, at det ligner et
nul).
Elementerne i en mængde skal være indbyrdes forskellige, og det skal være éntydigt
givet, hvilke elementer der er med i mængden, og hvilke ikke.
Allerede her er vi ude i et morads af definitoriske problemer, som jeg kort skal
omtale. (I parentes bemærket kan den slags problemer være en af grundene til,
at mange både kloge og tænksomme mennesker har svært ved at lære matematik,
f.eks. i skolen. Tilegnelse af matematik kræver en ejendommelig blanding
af spidsfindigt pedanteri og stor tolerance, grænsende til naivitet, over for ubestemthed,
foreløbighed og manglende konkrethed).
6