PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
IIIc Fra og med Gödel. Fra formalismen tilbage til realismen
1. Som sagt i Studiebrev 5 rettede Kurt Gödel i 1931 et afgørende slag mod det
formalistiske program i matematikken, idet han beviste, at axiomatiske systemer
af en vis kompleksitet ikke var komplette.
Selv den simple axiomatik for aritmetikken, hvilket reelt vil sige for de hele tal,
som i 1890'erne var udviklet af den italienske matematiker Guiseppe Peano
(1858-1932) som en videreudvikling af Dedekinds arbejde med aritmetikkens
grundlag, var ikke komplet.
Gödel beviste faktisk, at et hvilket som helst sundt (dvs. konsistent) axiomatisk
system, som indeholdt en axiomatik for de hele tal, ikke kunne være komplet,
hvilket igen indebar, at intet axiomatisk system for matematikken kunne være
komplet.
2. Gödels bevis var som sagt et afgørende slag mod det formalistiske program.
Men selve bevisets gennemførelse afhang på den anden side af den formalisering
af det matematiske sprog, der var et resultat af det formalistiske program,
dvs. udformningen af matematiske påstande og bevisførelser som veldefinerede
symbolstrenge.
Formaliseringen gjorde det muligt at behandle matematiske påstande og beviser
selv som matematiske objekter. Gödel afmonterede så at sige det formalistiske
program med dets egne midler.
Selve bevisets tekniske udformning vil jeg ikke komme ind på her. Det er dog
vigtigt i forhold til vores tidligere diskussion af konstruktivistisk og "moderne"
matematik, at Gödels bevis holder sig inden for det konstruktivistiske paradigme
og altså ikke forudsætter udvalgsaxiomet.
3. Som det huskes fra Studiebrev 5, er et axiomatisk system komplet i forhold til
en mængde velformede udsagn, hvis det består af en endelig mængde axiomer,
således at der for ethvert af de velformede udsagn eksisterer et bevis ud fra axiomerne
for udsagnets sandhed eller falskhed.
Sagt med andre ord skal der enten ud fra axiomerne og udsagnet eller ud fra
axiomerne og udsagnets negation med deduktive midler (syntaktisk) kunne udledes
en logisk kontradiktion.
Hvis der bare for ét velformet udsagn både fra udsagnet selv, sammen med axiomerne,
og fra udsagnets negation, sammen med axiomerne, kan udledes en
kontradiktion, er axiomsættet ikke konsistent, dvs. det er "usundt". [Dette er det
samme som, at der fra axiomsættet selv kan udledes en kontradiktion]
72