PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01. 95
Vi kan nu ordne alle de rationelle tal i en éntydigt defineret rækkefølge, hvis vi
bruger følgende regel: Af to rationelle tal kommer det først, hvor summen af
den numeriske værdi af p og q er mindst (den numeriske værdi af p er p's værdi
under bortseen fra fortegnet). Hvis summen er den samme, kommer det mindste
tal først. De første led i rækkefølgen er således (hvor jeg for systemets skyld
skriver hele tal med et 1-tal i nævneren):
0 − 1 1 − 2 − 1 1 2 − 3 − 1 1 3 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ...
1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 4 4 3 2 1
På denne måde vil alle rationelle tal komme med i rækkefølgen. Vi kan nu parre
mængden af rationelle tal med mængden af naturlige tal ved at parre ethvert rationelt
tal med dets nummer i rækkefølgen, idet vi begynder med nr. 0. Altså har
mængden af rationelle tal samme kardinalitet som de naturlige tal, nemlig ℵ0.
Dette resultat og den anvendte bevismetode skyldes en af grundlæggerne af den
moderne mængdeteori, Georg Cantor (1845-1918).
Mængder, som har de naturlige tals kardinalitet, ℵ0, kaldes også for numerable
mængder (engelsk: denumerable sets. I DMS er jeg kommet til at stave det med
to m'er [Rettet i 1996-udgaven]). Nogle gange bruges termen tællelig (engelsk:
countable) synonymt med numerabel, men ofte bruges det som omfattende både
numerable og endelige mængder.
Lad os nu se på mængden af reelle tal. De reelle tal kan defineres som mængden
af alle såkaldte uendelige decimalbrøker, dvs. alle decimalbrøker med et
uendeligt antal cifre. Hertil regner man som specialtilfælde sådanne decimalbrøker,
som ender på en uendelig mængde 0'er eller 9'ere, og som også kan
skrives som endelige decimalbrøker. F.eks. er 3,70000... det samme som
3,69999..., der igen er det samme som 3,7 (de tre prikker efter cifrene skal betyde,
at cifrene fortsætter uendeligt). Dette er igen et specialtilfælde af sådanne
uendelige decimalbrøker, der ender med at blive periodiske, hvor altså den
samme endelige cifferrække gentager sig i det uendelige. Alle sådanne såkaldte
periodiske decimalbrøker er lig med rationelle tal (prøv at finde ud af hvorfor!).
F.eks. er 3,7454545... det samme som 206/55.
Der findes imidlertid også reelle tal, som ikke er periodiske decimalbrøker.
F.eks. decimalbrøken svarende til π eller 2 . Sådanne reelle tal kaldes irrationelle
tal. Altså er de rationelle tal en ægte delmængde af de reelle tal. Spørgsmålet
er nu, om de rationelle tal, og dermed de naturlige tal, kan parres med de
reelle, altså om de reelle tal også har kardinaliteten ℵ0.
Jeg viste ovenfor, hvordan vi kunne definere en funktion y=f(x), der parrede de
reelle tal med en delmængde af den selv, nemlig de reelle tal i det åbne interval
mellem 0 og 1. Altså har de reelle tal samme kardinalitet som de reelle tal mellem
0 og 1. Vi kan derfor nøjes med at undersøge kardinaliteten for denne
mængde.
53