PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 16. Jens Mammen, 26.11.96
Det mangler nu blot at vises, at egenskaberne (a,b,c), henholdsvis (2,3,4) er
indbyrdes ækvivalente.
Da komplementet til en tynd delmængde er tæt (jfr. SB15, afsnit 5), må enhver
af de komplementære tynde delmængder i (4) også være tætte. Altså eksisterer
der en delmængde, der både er tynd og tæt, jfr. egenskab (3). Omvendt, hvis en
delmængde er både tynd og tæt (3), er både den selv og dens komplement tynde
(4). Altså er (3) og (4) ækvivalente.
Hvis der findes to tynde delmængder, som er komplementer (4), er de også
begge tætte og adskilte (2). Omvendt, hvis der findes to adskilte tætte delmængder,
kan ingen af dem indeholde en åben mængde, da enhver åben
mængde jo indeholder mindst ét punkt fra den anden. Altså er enhver af de adskilte
tætte delmængder også tynd (3).
Altså er egenskaberne (2,3,4), og dermed egenskaberne (a,b,c), indbyrdes ækvivalente.
Vi kan altså konkludere, at
Theorem 3: I et maksimalt SU-rum er sansekategorierne organiseret som et
uopløseligt topologisk rum.
13. Endnu en egenskab ved maksimale SU-rum blev diskuteret i SB15. Det
fulgte af de 11 axiomer, at sansekategorierne i et SU-rum var organiseret som
en perfekt topologi, og at udvalgskategorierne nødvendigvis måtte være alle
delmængder, som ikke indeholdt en sansekategori, altså alle tynde delmængder.
Dermed var alle axiomer, undtagen Axiom 10 opfyldt. For at dette skulle være
opfyldt, krævedes yderligere, at foreningsmængden af to tynde mængder skulle
være tynd, eller med andre ord, at fællesmængden af to tætte mængder skulle
være tæt. Vi har derfor
Theorem 4: I et maksimalt SU-rum er alle foreningsmængder af to tynde delmængder
selv en tynd delmængde (hvor en tynd delmængde er en delmængde,
der ikke indeholder en ikke-tom sansekategori), hvilket er det samme som, at
fællesmængden af to tætte delmængder i rummet af sansekategorier selv er en
tæt delmængde.
14. I et [perfekt] topologisk rum, hvor egenskaben i Theorem 4 er opfyldt, kan
der altid defineres et maksimalt SU-rum ved at lade alle tynde mængder være
udvalgskategorier. Egenskaben i Theorem 4 er derfor både nødvendig og tilstrækkelig
for et maksimalt SU-rum.
Derimod ser det ud til, at egenskaben i Theorem 3 blot er nødvendig, men ikke
tilstrækkelig for at hævde eksistensen af et maksimalt SU-rum. Men jeg er ikke
186