PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 10. Jens Mammen, 06.06.95
denne sammenhæng er, at spørgsmålets besvarelse hænger sammen med beskrivelsen
af Mandelbrots mængde som en delmængde i standardtopologien på
R 2 , idet der er en tæt forbindelse mellem åbenhed i R 2 og afgørbarhed i Q 2 .
27. Mandelbrotmængden kan defineres som en delmængde af R 2 ud fra den
samme algoritme, som jeg ovenfor brugte til at definere den som en delmængde
af Q 2 . Hvorledes dette gøres, når man faktisk kun kan "regne" med rationelle
tal, springer jeg over her.
28. I standardtopologien på R 2 er Mandelbrotmængden en ikke-åben, afsluttet
og sammenhængende, men muligvis ikke lokalt sammenhængende, mængde.
At en mængde ikke er lokalt sammenhængende, vil sige, at der findes et punkt i
mængden og en omegn til dette punkt, for hvilke det gælder, at enhver omegn
til punktet, som er en delmængde af den første omegn, indeholder en ikkesammenhængende
delmængde af mængden.
En anden og mere anskuelig måde at udtrykke den manglende lokale sammenhæng
på er, at selv om hele mængden eventuelt er sammenhængende, så findes
der dele af mængdens rand, som består af et så tæt væv af (sammenhængende)
"tråde", at man ikke med det stærkeste mikroskop kan zoome ind på et punkt i
en tråd uden også at få trådstykker med, som kun er forbundet med punktet
uden for det zoomede område.
29. Det vides, at hvis Mandelbrotmængden faktisk ikke er lokalt sammenhængende
i standardtopologien på R 2 , så findes der heller ikke nogen algoritme
overhovedet, der gør den afgørbar i Q 2 .
Det interessante i denne sammenhæng er, at den umiddelbart meget komplicerede
egenskab lokal sammenhæng kan udtrykkes alene ved hjælp af egenskaber
forankret i de tre topologiske axiomer, og at man med deres hjælp kan afgøre et
så vanskeligt spørgsmål som den principielle afgørbarhed af en mængde i forhold
til en hvilken som helst algoritme.
30. Ifølge Roger Penrose [1989; 2. udgave, 1990, p.191] er det faktisk i 1989
lykkedes Leonore Blum at bevise, at der ikke eksisterer nogen algoritme, som
gør Mandelbrotmængden Y afgørbar på Q 2 . Og det var denne kendsgerning,
som jeg henviste til i Studiebrev 3 og ovenfor i afsnit 26. Men det fremgår desværre
ikke af Penrose's omtale, om det samtidig er bevist, at Mandelbrotmængden
ikke er lokalt sammenhængende i R 2 .
132