PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
I ingen af tilfældene udtømmer et endeligt sæt axiomer (og de theoremer, der
kan afledes af dem ved deduktion) mængden af sande udsagn om objektet, med
mindre det matematiske objekt er endeligt. Hvis det blot indeholder en uendelige
mængde svarende til de hele tal, er axiomsættet ikke komplet.
Dette indebærer igen, at axiomsættet i sig selv aldrig fastlægger sit objekt i entydig
forstand, idet der altid vil kunne findes modeller, der opfylder axiomerne,
men som er indbyrdes uforenelige. Det vendes der tilbage til nedenfor i forbindelse
med modelteori.
25. Man kunne argumentere for, at man kun burde bruge betegnelsen axiomer
for sådanne axiomer, der ikke er definitioner, men virkelig indeholder grundlæggende
påstande om matematiske objekter. Som Peanos axiomer, hvoraf et
f.eks. påstår, at ethvert helt tal har en efterfølger, eller som udvalgsaxiomet og
kontinuumshypotesen, der udtaler sig om egenskaber ved enhver mængde.
Når det ikke sker, skyldes det nok på den ene side, at grænsen mellem sådanne
axiomer og definitioner trods alt er flydende. F.eks. kan udvalgsaxiomet også
bruges til at definere og afgrænse to matematiske domæner fra hinanden, det
konstruktive og det ikke-konstruktive.
På den anden side er det på mange måder praktisk at betragte matematiske definitioner
som axiomer, når et matematisk objekts egenskaber skal afdækkes.
Derved udnytter man alle de fordele, der ligger i den axiomatiske metode til at
afdække afledningsforhold (afhængigheder) og uafhængigheder mellem objektets
egenskaber.
I DMS har jeg benyttet en sådan axiomatisk metode til at fremstille rummet af
sanse- og udvalgskategorier i universet af genstande. Axiomerne kan så opfattes
som sande udsagn om dette rum, som antages at eksistere i forvejen i en eller
anden forstand, eller de kan opfattes som definerende en bestemt klasse af rum
inden for en større klasse af organiserede mængder, hvor disse rum så er modeller
for sanse- og udvalgskategorier i den virkelige materielle verden.
Den axiomatiske metode tillader, at undersøgelsen af rummets egenskaber kan
gennemføres uafhængigt af, hvordan axiomerne tolkes, jfr. igen min fodnote s.
379-380 i DMS og diskussionen mellem Preben og mig den 5., 6. og 9. januar.
Hvad der menes med "rum" ovenfor, vendes der tilbage til i Studiebrev 7 om
topologi, hvor jeg vil introducere den særlige del af matematikken, som er specielt
relevant for sanse- og udvalgskategorierne.
Hidtil (ligesom i resten af nærværende studiebrev) har jeg blot snakket om generelle
forudsætninger (matematikkens grundlag), som vi får brug for i den specielle
del.
80