PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
mængde og mængder i basen. Hvis imidlertid den underliggende mængdes kardinalitet
er mindre end basens kardinalitet, kan der ikke eksistere en én-éntydig
parring mellem (x,y)-par og mængder i basen.
Det gælder derfor generelt, at kardinaliteten for en basis i en maksimal perfekt
topologi er større end kardinaliteten af den underliggende mængde, jfr. ovenfor
i afsnit 1.
Jeg har nu beskrevet nogle særtræk ved maksimale perfekte topologier i forhold
til, hvad der gælder for perfekte topologier i almindelighed. Men så længe vi
kun som hidtil interesserer os for sansekategorierne og ikke for udvalgskategorierne,
fremgår det ikke, hvorfor de maksimale perfekte topologier skulle være
noget særligt i relation til rummet af sanse- og udvalgskategorier.
8. I en maksimal perfekt topologi kan vi altså interpretere alle mængder, der er
tætte i sig selv, og det vil sige alle åbne mængder, som sansekategorier.
Det helt specielle ved de maksimale perfekte topologier fremtræder, når vi nu
interpreterer alle tynde mængder som udvalgskategorier, og det kan vises, at
denne interpretation tilfredsstiller alle de 11 axiomer (som jeg gentager nedenfor
i afsnit 11, jfr. Studiebrev 13, afsnit 10), samt Påstand 1.
At Axiom 1, 2, 3, 4 og 5 er opfyldt, følger af, at sansekategorierne er organiseret
som en perfekt topologi. At Axiom 6 er opfyldt, følger af, at ingen i sig selv
tæt delmængde i rummet også er tynd, fordi ingen åben mængde kan være tynd.
Enhver endelig delmængde i rummet er tynd, da en endelig mængde ikke kan
indeholde en ikke-tom åben mængde i en perfekt topologi. Heraf følger, at
Axiom 7 og 8 er opfyldt. Det er også klart, at fællesmængden af en tynd
mængde og enhver anden mængde selv må være tynd. Deraf følger, at Axiom 9
og 11 er opfyldt.
Komplementet til en tynd mængde er tæt og altså åbent. Dermed er den tynde
mængde sluttet. Da enhver delmængde af en tynd mængde selv er tynd, er enhver
delmængde af en tynd mængde altså også afsluttet. For forenngsmængden
af to tynde mængder gælder det nu, at enhver delmængde af denne foreningsmængde
er foreningsmængde af en delmængde fra den ene tynde mængde og
den anden tynde mængde. Da foreningsmængden af to afsluttede mængder er
afsluttet, gælder det altså også for foreningsmængden af to tynde mængder. at
enhver delmængde af foreningsmængden er afsluttet. Lad os nu kalde foreningsmængden
for A, og lad os betragte et vilkårligt punkt a i A. Mængden
A\{a} er nu en delmængde af A og dermed afsluttet. Altså er komplementet til
A\{a} åbent og indeholder a, men ingen andre punkter i A. Dvs. at a er isoleret i
A. Da dette gælder for alle a i A, består A dermed udelukkende af isolerede
punkter og er altså diskret. Enhver delmængde B af A er dermed også diskret.
177