PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01.95
rende til, om det tilsvarende naturlige tal i rækkefølgen er med eller ikke med i
delmængden. De lige tal som delmængde af de naturlige tal vil således kunne
repræsenteres ved den uendelige rækkefølge 1,0,1,0,1,0,1,0, ... eller uden kommaerne
10101010... eller, hvis vi sætter "0," foran, ved 0,10101010... . På denne
måde ses det, at vi har etableret en direkte parring mellem mængden af delmængder
af de naturlige tal og mængden af reelle tal mellem 0 og 1.
Sagt med andre ord er kardinaliteten af potensmængden af de naturlige tal netop
lig med kardinaliteten af de reelle tal. I analogi med ligning (10) ovenfor skriver
man denne kardinalitet som 2 ℵ0 . Med denne skrivemåde kan vi altså give kontinuumshypotesen
denne form:
(12) ℵ1 = 2 ℵ0
Allerede i 1878 havde Georg Cantor bevist, at ligning (11) for endelige mængder
kunne generaliseres til uendelige mængder. En potensmængde af en uendelig
mængde har altid højere kardinalitet end mængden selv. Eller med samme
skrivemåde som ovenfor
(13) 2 ℵn > ℵn
hvor ℵn er en vilkårlig kardinalitet.
Det man derimod ikke vidste på Cantors tid, var om det gjaldt generelt, at
(14) ℵn+1 = 2 ℵn
hvor ℵn+1 altså er efterfølgeren til ℵn. Man vidste altså ikke, om der fandtes
mængder med en kardinalitet mellem en given mængdes kardinalitet og dens
potensmængdes kardinalitet. Antagelsen i ligning (14) om, at der ikke fandtes
sådanne kardinaliteter, er en generalisering af kontinuumshypotesen i ligning
(12) og kaldes derfor også for den generaliserede kontinuumshypotese.
Faktisk beviste Kurt Gödel i 1938, at den generaliserede kontinuumshypotese
var konsistent med mængdelærens axiomatiske grundlag. Og Paul Cohen beviste
den samme hypoteses uafhængighed i 1963. Den generaliserede kontinuumshypotese
var altså et potentielt nyt axiom i mængdelæren.
Dermed havde man fået afklaret nogle af de væsentligste spørgsmål angående
mængdelærens (og dermed matematikkens) grundlag, som havde rumsteret siden
århundredeskiftet. Dette hang sammen med en afklaring angående selve
dette grundlags axiomatiske karakter, som vi skal se på i næste studiebrev.
56