PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

IIId Modelteori
Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
1. En konsekvens af den forståelse af axiomatiske systemer, som er fremstået
efter Gödels opdagelser i 1931, er, at et axiomatisk system altid har flere (faktisk
uendeligt mange) modeller, dvs. at der altid er flere objekter, som det passer
på, eller at det altid har flere interpretationer.
Dette gælder, hvad enten man som konventionalisterne vil lade alle modellerne
være lige gyldige og stå i et tautologt forhold til axiomerne, eller man som realisterne
vil lade én af modellerne have en særstatus som det objekt, som axiomerne
primært handler om og udsiger noget (ikke udtømmende) sandt om.
(I parentes bemærket er alle videnskabeligt aktive matematikere nok de facto
realister, uanset erklæringer om det modsatte, da alternativet er fuldstændigt
uoverskueligt og uanskueligt og i ingen tilfælde svarer til, hvad der faktisk foregår
i matematikernes hoveder. Men det kender vi jo fra alle andre fag, herunder
vort eget, hvor selv de mest indædte formalister, konventionalister og postmodernister
de facto er realister, hvis de skal klare sig i den praktiske verden. (Som
en filosof for nyligt udtalte: "Vis mig en postmodernist i et fly 10 km over jorden,
og vis mig en hykler!")).
Uanset ens erklærede holdning til matematikkens grundlagsproblemer er det
dog i alle tilfælde vigtigt at have et vist overblik over forholdet mellem et axiomsæt
og den tilsvarende mængde af modeller, bl.a. fordi det oplyser om, hvad
axiomsættet altså ikke i sig selv har udsagt om sit primære objekt.
2. Jeg vil her, om lidt, fremdrage et resultat, nemlig Löwenheim-Skolems theorem,
som viser en dyb indre forbindelse mellem Gödels ufuldstændighedsbevis,
udvalgsaxiomet og den "axiomatiske frihed", som kom til udtryk ved, at kontinuumshypotesen
og den generaliserede kontinuumshypotese som axiomer var
uafhængige, dvs. uafgørbare, i forhold til mængdelærens andre etablerede axiomer,
jfr. Studiebrev 5.
Theoremet blev fremsat allerede i 1915 af den tyske matematiker Leopold
Löwenheim og præciseret i 1920 af den norske matematiker og logiker Thoralf
Skolem. Det foregreb således, og banede en del af vejen for, de senere mere generelle
opdagelser.
I 1956 blev theoremet af den polsk-amerikanske matematiker og logiker Alfred
Tarski udvidet til, hvad der derefter hedder Löwenheim-Skolem-Tarskis theorem.
Mere herom om lidt.
3. Først må vi lige vende tilbage til udvalgsaxiomet. Jeg har omtalt det flere
gange i de tidligere studiebreve og i mine svar på spørgsmål, som jeg vil henvise
jer til for en uddybning af udvalgsaxiomet og dets implikationer. Da stu-
81