PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01.95
IIc Om mængders størrelse. Endelige og uendelige mængder
Vi skal i dette afsnit først se på, hvad man forstår ved endelige mængders størrelse,
og på nogle regler for relationerne mellem forskellige endelige mængders
størrelse. Især skal vi se på de tilfælde, hvor mængderne også er relateret til
hinanden, som vi har beskrevet det i afsnittet om mængdealgebra i Studiebrev 3,
nemlig som delmængder af hinanden, potensmængder af hinanden eller konstrueret
med mængdealgebraiske operationer ud fra hinanden.
Vi skal dernæst se på, hvad man kan forstå ved, at en mængdes størrelse er uendelig,
og se på spørgsmålet om, hvorvidt det har mening at tale om forskellige
uendelige størrelsesordner. I den forbindelse kommer jeg ind på et berømt problem
i moderne matematik, nemlig den såkaldte kontinuumshypotese, og på
problemets løsning.
[IIc.1. Endelige mængder:]
Jeg har allerede i Studiebrev 2 indført begrebet en endelig mængde. Her skrev
jeg:
"I en endelig mængde (engelsk: finite set) er der et endeligt antal elementer, dvs.
at de kan ordnes i en række og tælles, og at deres antal kan angives med et såkaldt
naturligt tal (engelsk: natural number), f.eks. 1, 7 eller 2513. Til de naturlige
tal regnes de hele positive tal og 0 (nul). Som et særtilfælde af en endelig
mængde regnes nemlig med en mængde med nul elementer, den såkaldte tomme
mængde (engelsk: The empty set), der sædvanligvis betegnes med bogstavet Ø."
Ved en sådan endelig mængdes størrelse (engelsk: size) vil jeg nu simpelthen
forstå antallet af elementer i mængden. Lad os kalde størrelsen af en given
mængde X for n(X), hvor n altså er antallet af elementer i X.
Ud fra denne definition er derfor
(1) n(Ø)=0 og
(2) n({a})=1
Den tomme mængde Ø har nemlig 0 (nul) elementer, og mængden {a} har
netop 1 (ét) element, nemlig a. Tallene i parentes i venstre margin har ingen dybere
betydning, men er bare min nummerering af ligningerne, som gør det lettere
for mig at henvise til dem.
Der gælder desuden en additionsregel for endelige mængders størrelse. Hvis X
og Y er adskilte (disjunkte) mængder, hvis altså med notationen fra Studiebrev
3, at
X∩Y=Ø
Så gælder det, at
(3) n(X+Y) = n(X)+n(Y)
44