PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
chains, både "opad" og "nedad", så den samlede struktur er et filtret netværk af
kæder. En "busk" i matematisk slang.
Hvis vi har en endelig mængde af perfekte topologier, som udgør en kæde, er
den topologiske forening af alle topologierne i kæden naturligvis netop den af
topologierne, som er den mest inklusive, altså den, som er "i toppen" af kæden.
Men hvad nu, hvis vi har en uendelig mængde af perfekte topologier i samme
kæde? Det kan […] bevises, at også i dette tilfælde er den topologiske forening
af dem alle selv en perfekt topologi, om end det ikke behøver at være en af topologierne
i den givne kæde. […]
[Lad os nu have en mængde af perfekte topologier på en given underliggende
mængde, f.eks. R. Hvis det for denne mængde af topologier gælder, at for enhver
kæde af topologier i mængden er kædens forening også med i mængden, så
siger vi, at mængden af topologier er kæde-stabil (eng. chain-stable). Mængden
af alle perfekte topologier på en given underliggende mængde er altså kædestabil.
Der findes nu en særlig udgave af udvalgsaxiomet, Zorn’s Lemma, der siger, at i
en sådan kæde-stabil mængde findes der et maksimalt element, som indeholder
alle andre elementer i mængden. I vores sammenhæng siger Zorn’s Lemma
altså, at i en kæde-stabil mængde af perfekte topologier findes der en maksimal
perfekt topologi, som indeholder alle de andre topologier i mængden. Da
mængden af alle perfekte topologier på en given underliggende mængde som
sagt er kæde-stabil, findes der altså en maksimal perfekt topologi, der indeholder
alle perfekte topologier på den underliggende mængde.
Den maksimale perfekte topologi er imidlertid ikke konstruktiv, så der kan ikke
gives eksempler. Dette hænger sammen med, at vi har måttet forudsætte en udgave
af udvalgsaxiomet for at bevise eksistensen af en maksimal perfekt topologi.
At Zorn’s Lemma er en udgave af udvalgsaxiomet, har i denne sammenhæng
groft sagt at gøre med, at der ikke er nogen eksplicit måde, hvorpå vi kan
definere og ordne alle de mulige kæder, hvis foreningsmængder igen skal forenes
i den maksimale perfekte topologi.]
Et lemma er en hjælpesætning, som bruges ved beviset af andre sætninger. Og
denne funktion har Zorn's Lemma udfyldt i høj grad i flere af den moderne matematiks
områder. Det blev fremsat i 1935 af Max Zorn, men blev næsten enslydende
formuleret i 1909 af Felix Hausdorff i hans maksimale kædeprincip,
som ofte blot kaldes Hausdorff's maksimal princip.
173