PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
direkte sum-topologi af Q og R\Q, i forhold til standardtopologien på R. Det
ses forholdsvis let, at den selv er en perfekt topologi på R.
Jeg kunne også have valgt en anden perfekt topologi end den ovennævnte, som
indeholdt standardtopologien. Jeg kunne have gjort det efter helt samme princip,
men ud fra en subbasis, som var alle mængder O∩W og O∩R\W, hvor W
nu ikke er mængden af rationelle tal, men en anden mængde, som er "tæt" i R,
z
f.eks. alle tal af typen , hvor z er et helt tal, og hvor n er et naturligt tal, med
n
2
andre ord alle brøker, hvor nævneren er en potens af 2. (Jeg vender tilbage til
begrebet "tæt").
Jeg kunne have konstrueret uendeligt mange andre perfekte topologier, som indeholdt
standardtopologien. Og for hver af disse kan jeg igen konstruere nye,
som indeholder dem, osv. i det uendelige. Nøjagtig samme situation ville jeg
have haft, hvis jeg i stedet var gået ud fra standardtopologien på Q, eller i virkeligheden
en hvilken som helst perfekt topologi.
Hver gang jeg har to af disse perfekte topologier, kan jeg konstruere en ny, som
indeholder dem begge. For de to, som jeg har konstrueret ovenfor, kan jeg f.eks.
vælge topologien med en subbasis, som er "foreningen" af de to topologiers
subbaser, altså alle mængder af typen O∩Q, O∩R\Q, O∩W og O∩R\W. Denne
nye topologi er den "minimale", som indeholder de to topologier og betegnes
deres topologiske forening (eng. topological union). Efter samme princip kan
jeg definere foreningen af et vilkårligt antal topologier på samme underliggende
mængde.
I ovenstående eksempel var foreningen af de to perfekte topologier selv en perfekt
topologi. Men det behøver den ikke at være i alle tilfælde. F.eks. kan vi
konstruere en perfekt topologi på R med subbasis bestående af alle mængder af
typen r+qz, hvor r er et reelt tal, q er et rationelt tal, og z gennemløber de hele
tal. Med andre ord alle differensrækker på R med rationel differens. Men den
topologiske forening af denne topologi med standardtopologien er ikke perfekt.
4. Vi kan tænke os alle de uendeligt mange perfekte topologier på R ordnet efter,
hvorvidt de inkluderer hinanden. "Oven på" en given topologi ligger alle de,
der indeholder den, og "under" ligger alle de, som den indeholder.
Lad os nu se på en bestemt delmængde af de perfekte topologier, for hvilke det
gælder, at for hvilke som helst to af dem, vil enten den første være indeholdt i
den anden, eller den anden være indeholdt i den første. En sådan delmængde af
de perfekte topologier vil udgøre en såkaldt kæde (eng. chain). Enhver af de
perfekte topologier, som vi kan konstruere, vil være med i mange forskellige
172