PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 06.02.95
Svar til Tia Hansen
Kære Tia!
1. Dit spørgsmål er meget centralt, og jeg kan godt se, at jeg har sprunget noget
over i min fremstilling, som du har indfanget meget præcist.
2. Det, som Bolyai og Lobachevsky (og i øvrigt også andre, som f.eks. Carl
Friedrich Gauss, 1777-1855, ham med normalfordelingen) opdagede, var, som
du selv formulerer det, at der findes andre geometriske objekter eller modeller
end det almindelige 3-dimensionale "euklidiske" rum, som vi er fortrolige med.
Der var altså tale om en "semantisk" opdagelse, en udvidelse af det geometriske
genstandsfelt, som gjorde det euklidiske rum til et specialtilfælde.
Når det kan kaldes en opdagelse og ikke en opfindelse, hænger det sammen
med, at det nye genstandsfelt i en eller anden forstand opfattes som "eksisterende",
også før det blev "fundet". Dette vender jeg tilbage til i Studiebrev 6,
hvor jeg også kommer ind på andre mere principielle spørgsmål i denne forbindelse.
Her vil jeg så til gengæld gøre lidt mere ud af det konkrete eksempel.
3. Forudsætningen for, at man kunne overskride den almindelige 3-dimensionale,
euklidiske geometri, som svarer til vores dagligdags forståelse af det omkringliggende
fysiske rum, var en opfindelse, som kan føres tilbage til filosoffen
og matematikeren René Descartes (1596-1650), nemlig koordinatsystemet, i
1639.
Koordinatsystemet er ikke en opdagelse, men en opfindelse, fordi det er et
menneskeskabt redskab, som næppe kan siges at have eksisteret, før det blev
(op)fundet. Til gengæld var koordinatsystemet redskab for en opdagelse, nemlig
at der eksisterer en én-éntydig afbildning af rummet på mængden af alle ordnede
"tripler" (x,y,z), hvor x, y og z er reelle tal. Med andre ord eksisterer der en
én-éntydig parring af punkter i rummet og koordinater (x,y,z). Denne afbildning
har desuden nogle egenskaber (isomorfi), som betyder, at alle geometriske relationer
i rummet afbildes i tilsvarende éntydigt definerede relationer i mængden
af koordinater, altså tal.
4. Efter koordinatsystemets opfindelse kunne man derfor i princippet beskrive
alle geometriske problemer som tilsvarende problemer i talmængder, og i princippet
løse dem med metoder kendt fra aritmetikken. Dette var grundlaget for
den såkaldte analytiske geometri, som Descartes har fået æren for (lidt synd, at
han bedst huskes for det med dualismen og koglekirtlen), og som er grundlaget
for al moderne geometri.
Hermed overtog geometrien de stærke generalisationsmetoder, som var knyttet
til tallene, og blev løsrevet fra den konkrete rumlige forestilling. Men der skulle
altså gå næsten 200 år efter Descartes, før dette potentiale for alvor udfoldede
sig.
68