PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 7. Jens Mammen, 30.04.95
af åbne intervaller. Men det er selvfølgelig selv en foreningsmængde af åbne
intervaller og dermed en åben mængde. Altså er også Axiom 3 opfyldt.
30. Som nævnt ovenfor er standardtopologien sammenhængende. Altså kan den
ikke være algebraisk. Men vi mangler endnu at undersøge, om der er operationel
asymmetri, altså om der findes fællesmængder af åbne mængder, der ikke
selv er åbne mængder, eller helt tilsvarende, om der findes foreningsmængder af
afsluttede mængder, der ikke selv er afsluttede.
Lad os f.eks. se på mængden af alle åbne intervaller, der indeholder punktet 7.
Deres fællesmængde er netop mængden {7}. Men mængden {7} er en afsluttet
og ikke en åben mængde.
(Når man snakker topologi, og ikke logik og mængdelære i øvrigt, skelner man
ikke altid mellem mængden {7} og elementet 7, men taler blot om punktet 7. I
DMS har jeg stort set droppet denne skelnen, hvor den ikke giver anledning til
misforståelser. Se DMS, s. 324, note 20).
Tilsvarende kan det let vises, at der findes foreningsmængder af afsluttede
mængder, der ikke selv er afsluttede. Lad os f.eks. se på mængden af lukkede
intervaller x1 ≤ x ≤ x2, hvor 3 < x1 og x2 < 7. Foreningsmængden af dem alle er
netop det åbne interval 3 < x < 7, som ikke er afsluttet, men åbent.
Altså er der operationel asymmetri i standardtopologien, som derfor falder i
kategori F i vores skema ovenfor, ligesom vores første eksempel.
31. I standardtopologien er åbne intervaller (eng.: open intervals) på R åbne
mængder (open sets), og lukkede intervaller (closed intervals) er afsluttede
mængder (closed sets). Her finder vi den sproglige oprindelse til begreberne
"åben" (open) og "afsluttet" (closed).
(På dansk har man valgt at oversætte "closed" med "lukket", når der tales om
intervaller, og med "afsluttet", når der tales om mængder i et topologisk rum.
Eller rettere: Man har vist nok holdt sig til den oprindelige central-europæiske
praksis, som har mistet en distinktion ved oversættelse til engelsk. Det er først
efter 2. verdenskrig, at matematikken er blevet engelsk-sproget. Før den tid var
den på tysk eller fransk (f.eks. polakkerne)).
Man kan sige, at topologien har generaliseret begreberne "åben" og "lukket" fra
intervaller på R til en helt generel asymmetriegenskab i organiserede mængder.
32. Hermed er vi kommet lidt længere i indkredsningen af begrebernes "semantik",
som gerne skulle ende med en forståelse af sansekategorier som åbne
mængder. Men vi mangler stadig det væsentligste.
98