PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
Jeg har selv i en fodnote s. 379-380 i DMS brugt betegnelsen "formalistisk" om,
hvad jeg her kalder den konventionalistiske forståelse.
17. Alternativet til den konventionalistiske opfattelse er den realistiske. Den
realistiske opfattelse må naturligvis anerkende, at et axiom som f.eks. Euklids
parallelaxiom har samme sandhed som dets alternativer, idet axiomet og dets
alternativer definerer henholdsvis euklidiske og ikke-euklidiske geometrier.
Her er altså tale om en analytisk eller definitorisk sandhedsværdi af "axiomerne",
der derfor rettelig bør betragtes som definitioner af matematiske objekter.
Så langt er konventionalister og realister enige.
18. Men realismens særkende er, at den ikke regner alle axiomer for sådanne
definitioner, men derimod også regner visse axiomer for syntetisk sande påstande
om matematiske objekter, som f.eks. de hele tal eller de reelle tal, der i
en eller anden forstand eksisterer og er fastlagt forud for axiomet, og hvis egenskaber
kan erkendes, før de beskrives med axiomet. Axiomets sandhed i forhold
til objektet kan derefter konstateres med ikke formelle metoder, dvs. med "indsigt".
F.eks. vil en realistisk matematisk forståelse typisk indebære, at den reelle talakse
regnes for et éntydigt og veldefineret objekt, selv om det anerkendes, at
ingen endelig mængde axiomer udtømmer mængden af sande udsagn om den
reelle talakse. Eller sagt på en anden måde, selv om enhver endelig mængde
axiomer, der beskriver de reelle tal, også passer på en diffus uendelighed af hypotetiske
modeller, som de imidlertid ikke refererer til.
Heri ligner et matematisk objekt som den reelle talakse jo blot ethvert virkeligt,
tingsligt objekt, som også har uendeligt mange egenskaber udover dem, der er
indeholdt i enhver endelig beskrivelse.
19. Den realistiske matematiker mener altså, at matematikken beskriver objekter,
som ikke er identisk med selve beskrivelsen. Disse objekter kan være objekter
for hans tanke og vejlede ham, når han skal udlede nye theoremer, og når
han skal vurdere sandheden af nye axiomer i forhold til objekterne, hvilket ikke
foregår med formelle (deduktive, algoritmiske, "computable") midler, men som
Roger Penrose [1989] udtrykker det, ved indsigt.
For realister som Penrose er matematikken derfor nødvendigvis en menneskelig
virksomhed over for et objekt. De formelle, deduktive procedurer og algoritmer
er et nødvendigt redskab for denne virksomhed, men de kan aldrig erstatte den.
77