PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 7. Jens Mammen, 30.04.95
17. Begreberne "åben" og "afsluttet" kan umiddelbart lyde som hinandens negationer.
Det er de imidlertid ikke. Mængder kan som sagt godt være både-og
eller hverken-eller. Negationen af "åben" er "ikke-åben", og negationen af "afsluttet"
er "ikke-afsluttet". Det er vigtigt at huske i det følgende.
18. Det netop diskuterede eksempel (et "endeligt komplement rum") skulle først
og fremmest tjene til fremhævelse af den asymmetri, der gives plads for i en
topologi på en mængde M.
Vi må imidlertid her skelne mellem forskellige grader af asymmetri. Den mest
symmetriske situation finder vi i den ovennævnte diskrete topologi, hvor alle
elementer i potensmængden P(M), altså alle delmængder af M, har samme
"status", idet alle delmængder er både åbne og afsluttede.
Der findes imidlertid også lidt svagere symmetriske topologiske rum, hvor alle
åbne mængder er afsluttede, men hvor der også findes mængder, der hverken er
åbne eller afsluttede. Sammen med de diskrete topologiske rum kaldes sådanne
rum for algebraiske topologiske rum, hvor det "algebraiske" henviser til, at operationen
dannelse af komplement i M ikke ændrer en mængdes status som åben
(eller som afsluttet).
I et algebraisk topologisk rum vil fællesmængden af en vilkårlig mængde åbne
mængder være åben, ligesom foreningsmængden af en vilkårlig mængde afsluttede
mængder vil være afsluttet. Dette følger af dualitetsreglerne (prøv selv
at gennemføre beviset!). I et algebraisk topologisk rum er der altså også symmetri
mellem operationerne dannelse af fællesmængde og dannelse af foreningsmængde.
Der kan imidlertid godt være den netop nævnte operationelle symmetri i et topologisk
rum, uden at det er algebraisk. Operationel symmetri, mellem dannelse
af fællesmængde og dannelse af foreningsmængde, er altså udtryk for en svagere
symmetri end algebraisk symmetri.
Faktisk kan et topologisk rum godt på en gang være operationelt symmetrisk og
sammenhængende, hvor et topologisk rum som sagt er sammenhængende, hvis
de eneste mængder, der både er åbne og afsluttede, er Ø og M. Men et topologisk
rum kan ikke på en gang være algebraisk og sammenhængende (med mindre
det er trivielt, hvilket vi ser bort fra her). Imidlertid kan et topologisk rum
godt være hverken algebraisk eller sammenhængende.
Den stærkeste asymmetri finder vi altså i topologiske rum, som er sammenhængende,
og som ikke er operationelt symmetriske. Vores eksempel med et "endelig
komplement rum" rummede denne stærke asymmetri.
94