PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Kvorning, 22.12.94
Svar til Benny Karpatschof
Benny kunne også have set det med Gentzen og det finitistiske program i M.
Arbib: Brains, Machines and Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1965, p.
123, eller i Hartnacks seneste bog [1993]. Så vidt jeg kan læse Arbib, har Gentzen
ikke vist, at den aksiomatiske elementære talteori er (eller kan gøres) komplet.
Det er endeligt vist, at den altid må være ukomplet. Men Gentzen har
derimod (muligvis) vist, at den er konsistent. Dette gør han ved brug af den
såkaldte ε0-induktion, der er en infinit generalisation af almindelig matematisk
induktion. Problemet er bare, at denne metode er infinit - og derfor ikke tilladt
inden for det finitistiske program. - Og den forbliver selvfølgelig infinit, selv
om dens induktionsskridt er tællelige. (Et eksempel på en infinit, tællelig
mængde er som bekendt de naturlige tal). Endvidere er konsistensen af den
fremgangsmåde, som Gentzen anvender, (stadig ifølge Arbib) lige så problematisk
som konsistensen af den teori, hvis konsistens skulle bevises.
[...]
Glædelig jul!
Jens Kvorning
24