PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 2. Jens Mammen, 12.12.94
tik. I 1904 hævdede den tyske matematiker Ernst Zermelo (1871-1953), at
spørgsmålet ikke kunne afgøres ved bevis, dvs. ved afledning ud fra allerede
accepterede matematiske grundpåstande, såkaldte axiomer. Det måtte afgøres
med et nyt selvstændigt axiom, som Zermelo kaldte das Auswahlaxiom (dansk:
udvalgsaxiomet; engelsk: Axiom of Choice). Dette axiom, som vi skal vende tilbage
til flere gange, hævder, at der faktisk eksisterer mængder, som ikke kan
defineres ved kriterier eller regeldefinerede procedurer, hvad der siden er blevet
kaldt ikke-konstruktive mængder. (Min term "udvalgskategori" har mere end et
sprogligt slægtskab med Zermelos axiom. Men herom senere).
Først i 1963 lykkedes det den amerikanske matematiker Paul Cohen [1934-] at
vise, at Zermelo havde ret, bl.a. takket være den østrigske matematiker og logiker
Kurt Gödels (1906-1976) delvise løsning af problemet i 1938. Der var virkelig
tale om et nyt axiom, som man altså kunne føje til dem, man havde i forvejen,
hvis man i øvrigt mente, at det var fornuftigt. I århundredets begyndelse
mente mange matematikere, at udvalgsaxiomet var ufornuftigt eller direkte irrationelt,
og søgte i stedet at udforme en såkaldt konstruktivistisk matematik. I
dag har det modsatte synspunkt, altså accepten af udvalgsaxiomet, vundet så
stor tilslutning, at dette synspunkt som regel blot kaldes moderne matematik.
Som jeg har formuleret problemet ovenfor, lyder det så grundlæggende og "filosofisk",
at det er svært at forestille sig, hvordan det overhovedet kan diskuteres
med matematiske midler. At dette alligevel er muligt, skyldes, at det på grund af
matematikkens opbygning kædes sammen med andre spørgsmål, som lettere
kan diskuteres. Et eksempel på det, er spørgsmålet om, hvorvidt en vilkårlig
uendelig mængde, selv om dens elementer ikke kan ordnes i en række, dog kan
ordnes så meget, at man metaforisk sagt kan "finde rundt i den" i tilstrækkelig
grad til at udpege mindst ét element ud fra ordningen, lidt svarende til, at man
kunne tage det rødeste eller det øverste æble i kurven, hvis der vel at mærke er
ét, der er rødest eller øverst. Denne påstand om alle mængders potentielle "velordnethed",
i ovennævnte meget svage betydning, er faktisk ækvivalent med
udvalgsaksiomet. Der vendes som sagt tilbage til disse problemer og deres mere
teknisk præcise formulering.
Men der er flere problematiske momenter i definitionen af mængder (der er
stort set ikke andet). Hvad kan overhovedet være element i en mængde? Vi har
været lidt inde på spørgsmålet om elementers identitet. Lad os nu se lidt på deres
art. Det helt afgørende spørgsmål er her, om et element selv må være en
mængde, som altså igen har sine elementer, ikke at forveksle med elementerne i
den første mængde. Hvis mængdebegrebet overhovedet skal være brugbart i
matematikken, må dette tillades. Denne liberale holdning førte imidlertid, som
bl.a. den engelske matematiker og filosof Bertrand Russell (1872-1970) viste i
århundredets begyndelse, til ubehagelige paradokser. Hvis man f.eks. tillod en
mængde at være element i sig selv eller, endnu vildere, tillod sådan noget som
8