PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
Det paradigmatiske eksempel på ovenstående er den opdagelse af parallelaxiomets
status som uafhængigt axiom, som blev beskrevet i Studiebrev 5.
Uafhængigheden blev vist ved, at der også kunne defineres geometriske objekter,
ikke-euklidiske geometrier, for hvilke parallelaxiomets negation var gyldige.
I stedet for at vælge enten parallelaxiomet eller dets negation fra, godtog man
dem begge, idet man samtidig udvidede geometriens domæne eller genstandsområde
til både at omfatte de euklidiske og de ikke-euklidiske geometrier.
Axiomerne ændrede derved status til at være definitioner af de forskellige dele
af geometrien, inden for det udvidede domæne. Dette er et typisk eksempel på,
hvad der betegnes en matematisk generalisation.
Andre eksempler på matematisk generalisation er de udvidelser af talbegrebet,
der er sket siden oldtiden, nemlig fra de positive hele tal til de naturlige tal (de
hele positive tal og nul) og de negative tal, til de rationelle tal (brøker), til de
reelle tal og til de komplekse tal (som f.eks. − 1 ) [Se f.eks. Witt-Hansen,
1963].
Axiomerne er altså forstået på denne måde snarere analytiske sandheder, der
definerer deres objekt, end de er syntetiske udsagn om allerede definerede objekter.
15. Hvis man som konventionalisterne forstår alle axiomer på denne måde, er
der altså lige så mange matematikker, som der er mulige axiomsystemer, i princippet
uendeligt mange.
Hvis man spørger, hvad matematikken er "om", må man vise tilbage til axiomerne
som definerende objektet. Der er altså et cirkulært eller tautologt forhold
mellem matematikkens objekt og udsagnene om objektet.
Alle matematikkerne er også lige gyldige. Ingen kan påberåbe sig en særstatus i
forhold til de øvrige.
Denne ultimative konsekvens af den konventionalistiske forståelse er utilfredsstillende
for mange matematikere, der føler, at visse matematikker er både mere
"ordentlige", mere "gyldige" og nærmere matematikkens mulige anvendelser
end andre.
16. Især af matematikere, der er kritiske over for den konventionalistiske opfattelse,
ser man den af og til betegnet som formalistisk, hvilket ikke må forveksles
med det formalistiske program før Gödels bevis.
76