PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01.95
forenes. Hvis Y er en ægte delmængde af X, og hvis både Y og X kan parres med
Z, hvilket ifølge definitionen [ikke kan udelukkes, når] mængderne er uendelige,
så ville Y og X være ulige store ifølge den ene metode og lige store ifølge
den anden metode. Altså kan metode nr. 2 heller ikke indgå modsigelsesfrit i en
metode til sammenligning af alle uendelige mængders størrelser.
Tilbage bliver så metode nr. 3, altså sammenligning ved hjælp af parring. Vi
siger her, at to mængder X og Y har samme uendelige størrelsesorden, samme
kardinalitet (engelsk: cardinality), hvis elementerne i X og Y kan parres, dvs.
parres sådan at der til ethvert x i X svarer et y i Y og vice versa.
Med denne definition må vi altså acceptere, at enhver uendelig mængde indeholder
ægte delmængder med samme kardinalitet som sig selv. Det er jo blot en
gentagelse af Dedekinds definition på uendelighed.
Vi har imidlertid ikke med denne definition endnu bevist, at der overhovedet
findes uendelige mængder med forskellig kardinalitet. Det kunne jo tænkes, at
de alle kunne parres med hinanden. (Jeg skal dog om lidt vise, at mængden af
de reelle tal har større kardinalitet end mængden af naturlige tal). I alle tilfælde
antages det, at der ikke findes nogen uendelige mængder med lavere kardinalitet
end mængden af naturlige tal. Jeg går ikke nærmere ind på dette sidste spørgsmål
her.
Men lad os nu antage, at der faktisk findes uendelige mængder med forskellig
kardinalitet. I så fald kan kardinaliteterne ordnes i en række. En mængdes kardinalitet
er større end en anden mængdes kardinalitet, hvis der ved enhver mulig
parring vil blive uparrede elementer tilbage i den første mængde. To kardinaliteter
følger lige efter hinanden i rækken, hvis ingen mængder har en kardinalitet,
der er større end den ene og mindre end den anden. På den måde kan rækken
af kardinaliteter ligefrem nummereres begyndende med de naturlige tals
kardinalitet. Man har valgt at betegne kardinaliteterne med bogstavet ℵ forsynet
med indices, sådan at de naturlige tal har kardinaliteten ℵ0, næste kardinalitet
er ℵ1, næste ℵ2, etc. (ℵ (aleph) er det første bogstav i det hebraiske alfabet). På
denne måde har man altså etableret en éntydig "måleskala" for uendelige størrelsesordner.
Spørgsmålet er nu, hvilke uendelige mængder der kan beskrives med hvilke
ℵ'er. Det viser sig ikke at være så simpelt.
Lad os starte med et eksempel, som dog viser sig at være simpelt, nemlig
mængden af rationelle tal. De rationelle tal kan defineres som mængden af alle
p
uforkortelige brøker , hvor p er et helt tal, og hvor q er et helt positivt tal. For
q
q=1 får vi mængden af hele tal (idet vi her regner p/1 for uforkortelig), og for
q=1 og p lig et naturligt tal får vi netop mængden af naturlige tal, som altså er
en ægte delmængde af de rationelle tal.
52