PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
altså handlede om noget bestemt, nemlig punkter, rette linier og planer, som
man kendte dem i forvejen ad anden vej, selv om der faktisk intet sted i axiomerne
eksplicit stod, hvad de handlede om, bortset fra, at termerne "punkt", "ret
linie" etc. var anvendt og gik igen i de forskellige axiomer, altså forbandt dem
med hinanden i en fast struktur.
Det var disse forestillinger om axiomernes objekter (som faktisk ikke lå i axiomerne
selv som et system eller en struktur, ikke lå i deres "syntaks"), der havde
bundet matematikerne i 2000 år. Og det var denne binding og ikke axiomerne
"selv", der udøvede den tvang, hvormed parallel-axiomet fremtrådte, som om
det var et theorem.
Den eneste måde, hvorpå man fremover kunne løsrive sig fra sådanne forestillingsmæssige
og "semantiske" bindinger til bestemte objekter, var at betragte
axiomerne som rene formelle strukturer, rent "syntaktisk". Hermed forlod man
altså den "naive realisme", som havde behersket matematikken siden Euklid.
Dette var udgangspunktet for det såkaldt formalistiske program, der kom til at
dominere matematikken frem til ca. 1930, hvor man (dog ikke alle) vendte tilbage
til realismen på et højere niveau, som vi siden skal se i Studiebrev 6.
Det formalistiske program genoptog Euklids optimisme med hensyn til at udvikle
et fuldstændigt axiomatisk system for matematikken, nu hvor man havde
ryddet den "semantiske" binding til bestemte forestillinger om matematikkens
objekter af vejen. Ofte forbindes programmet med den tyske matematiker David
Hilbert (1862-1943) i en sådan grad, at det også kaldes "Hilberts program".
Det formalistiske program bygger på den forudsætning, at der findes et endeligt
sæt axiomer, for hvilket det gælder, at enhver velformet matematisk sætning
enten er et af axiomerne selv eller er et theorem eller er negationen til et axiom
eller til et theorem. Sagt med andre ord skal sandheden eller falskheden af enhver
velformet matematisk sætning kunne afledes af et endeligt antal axiomer
ved deduktion, hvor de deduktive regler i øvrigt selv kan opfattes som axiomer.
Det axiomatiske system skal være fuldstændigt, eller "komplet" (engelsk: complete).
Når der ovenfor står "enhver velformet matematisk sætning" i stedet for "enhver
sætning om matematiske objekter", skyldes det, at det formalistiske program
ifølge sin egen målsætning ikke kan afgrænse sit gyldighedsområde med "semantiske"
midler, altså henvisning til, hvad matematikken er "om", men kun
med "syntaktiske" midler, altså krav til påstandenes form.
Det formalistiske program indbefattede derfor en formalisering af selve det
matematiske sprog, som nu ideelt set skulle kunne læses uden kendskab til begrebernes
henvisning til andet end hinanden. Afledninger eller deduktioner (beviskæder)
fra axiomerne skulle derfor også som et ideal kunne udføres "mekanisk"
(algoritmisk), dvs. uden nogen nødvendig fortolkning eller interpretation
61