PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
I dette Studiebrev 15 vil jeg vente lidt med yderligere tolkninger og diskussioner
og i stedet gå noget mere i detaljer med de maksimale perfekte topologier
og deres egenskaber, herunder de allerede nævnte.
De maksimale perfekte topologier kaldes også maksimale perfekte Hausdorff
topologier, ligesom et perfekt topologisk rum også kaldes et perfekt Hausdorffrum.
Jeg bruger her den kortere betegnelse, idet det underforstås, at der er tale
om Hausdorff-rum (jfr. Studiebrev 11, afsnit 4).
Jeg har ikke helt rede på begrebets oprindelse. Jeg har nogle referencer til maksimale
perfekte topologier fra 1970'erne, men begrebet er muligvis ældre. [Det
viser sig, at de maksimale perfekte topologier er opdaget i 1943 af Edwin
Hewitt. Se Studiebrev 16.]
Som sagt ovenfor kan de maksimale perfekte topologier ikke konstrueres, og
der kan derfor ikke gives et eksplicit eksempel. Men de kan dog defineres præcist
nok til, at deres eksistens kan hævdes. Jeg vil ikke anføre en eksakt definition,
som er ret teknisk, men i stedet forsøge mig med en lidt løsere beskrivelse.
Først skal jeg dog præsentere et par andre nødvendige begreber. I den forbindelse
vil jeg erindre om, at jeg nu taler om modeller og derfor henviser til eksempler,
hvor den underliggende mængde for de topologiske rum er tal, f.eks. den
reelle talakse. Men hensigten er at bevise eller illustrere påstande, som gælder
for rum, hvor den underliggende mængde kan være alt muligt, også virkelige
genstande i verden (jfr. om konsistensbeviser i Studiebrev 5).
3. Lad os som udgangspunkt se på en velkendt og veldefineret perfekt topologi,
nemlig standardtopologien på R, altså topologien på den reelle talakse defineret
ved, at alle foreningsmængder af åbne intervaller, samt den tomme mængde Ø,
er åbne mængder (jfr. Studiebrev 7, afsnit 22-31). Vi kan nu herudfra definere
en ny perfekt topologi på R, som har flere åbne mængder, men som også omfatter
alle de åbne mængder i standardtopologien. En sådan ny topologi siges at
indeholde (eng. include eller contain) den førstnævnte topologi.
Den nye topologi kan f.eks. se sådan ud: Lad de åbne mængder være alle foreningsmængder
af endelige fællesmængder af typen O∩Q og O∩R\Q, hvor
"∩" betyder fællesmængde (jfr. Studiebrev 3), O er en åben mængde i standardtopologien,
Q er mængden af rationelle tal og R\Q er mængden af irrationelle
tal ("\" betyder differensmængde, jfr. Studiebrev 3). Mængderne O∩Q og
O∩R\Q, som på denne måde definerer en topologi, kaldes en subbase eller
subbasis (eng. subbase, subbasis) for topologien.
Den nye topologis åbne mængder er altså foreningsmængder af åbne intervaller,
som er sammensat af del-intervaller, der enten er reelle, eller består af udelukkende
rationelle tal eller udelukkende irrationelle tal. Denne topologi kaldes den
171