PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 16. Jens Mammen, 26.11.96
17. Jeg vil nu anføre nogle egenskaber ved maksimale SU-rum, som forudsætter
gyldigheden af Conjecture 1, og som derfor selv betegnes som conjectures.
I SB15, afsnit 10, nævnte jeg, at i en maksimal perfekt topologi er alle tynde
mængder afsluttede og diskrete. I et maksimalt SU-rum er alle udvalgskategorier
derfor afsluttede og diskrete, under forudsætning af Conjecture 1. Heraf følger:
Conjecture 2: I et maksimalt SU-rum er komplementet til en udvalgskategori en
sansekategori.
Men komplementet til en sansekategori er ikke altid en udvalgskategori. I så
fald ville rummet nemlig ikke være et Hausdorff-rum (Axiom 4).
Conjecture 3: I et maksimalt SU-rum er enhver delmængde af en udvalgskategori
en udvalgskategori. [Denne påstand er uafhængig af Conjecture 1 og burde
være anført som ”Theorem 7”]
Conjecture 4 (korrespondens): I et maksimalt SU-rum er enhver udvalgskategori
som delrum organiseret som et diskret rum både af sanse- og udvalgskategorierne
i den inducerede topologi.
Kort sagt er enhver udvalgskategori et "velafgrænset tilfælde", hvor dette i SUrum
i almindelighed kun gælder for endelige udvalgskategorier (jfr. SB13, afsnit
13, og DMS, s. 372).
18. Conjecture 5: I et maksimalt SU-rum findes der uendelige udvalgskategorier.
Denne påstand (som også blev berørt i SB13, afsnit 8) forudsætter, at der findes
uendelige diskrete delmængder i U, hvilket igen forudsætter, at rummet af sansekategorier
ikke er kompakt (jfr. SB9, afsnit 18, SB11, afsnit 14, og DMS, s.
458-461). Jeg er overbevist om, at en maksimal perfekt topologi ikke kan være
kompakt, men jeg har ikke fundet noget formelt bevis. Så Conjecture 5 anføres
foreløbigt uden bevis [, dvs. uden bevis for, at den følger af Conjecture 1].
19. De sidste egenskaber, jeg vil undersøge ved de maksimale SU-rum, er deres
sammenhængsegenskaber. Allerede Hewitt var inde på spørgsmålet, men den
bedste og mest omfattende behandling, jeg er stødt på, er hos den amerikanske
matematiker Eric K. van Douwen i en posthum artikel (van Douwen, 1993). Jeg
vil ikke gennemgå den omstændelige bevisførelse her, men nøjes med at anføre
et af resultaterne.
Van Douwen viser, at maksimale perfekte topologier (i hans terminologi "maximal
crowded topologies") er ekstremt usammenhængende ("extremally
188