PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 10. Jens Mammen, 06.06.95
16. Fællesmængden af to af mængderne X(m) og X(n), hvor m ≤ n, er X(m), og
altså selv en af mængderne.
Foreningsmængden af to af mængderne X(m) og X(n), hvor m ≤ n, er X(n), og
altså også selv en af mængderne.
Tilsvarende er fællesmængden af Y(m) og Y(n), hvor m ≤ n, Y(n), og foreningsmængden
er Y(m).
17. Foreningsmængden af alle X(n), eller blot af en uendelig mængde af sådanne
X(n), er netop mængden X, som den er defineret tidligere, altså mængden af
de punkter (q1,q2), hvor algoritmen stopper på et eller andet tidspunkt.
Selv om vi ikke på forhånd kan angive dette tidspunkt, siger vi alligevel, at
denne mængde også er afgørbar, blot ikke simpelt afgørbar. Sagt på en anden
måde er et punkt (q1,q2), som er med i X, også nødvendigvis med i et X(n), og
medlemskabet kan derfor afgøres, idet algoritmen med nødvendighed stopper
senest i det pågældende n'te skridt.
18. Foreningsmængden af en uendelig mængde Y(n)'er er Y(m), hvor m er det
laveste af n'erne. Den er altså også afgørbar og endda simpelt afgørbar.
19. Dermed er enhver uendelig foreningsmængde af X(n)'er og Y(n)'er afgørbar,
ligesom enhver endelig foreningsmængde naturligvis er det.
Specielt er foreningsmængden af et X(n) og det tilsvarende Y(n) netop Q 2 . For
ethvert punkt i Q 2 og ethvert n gælder det jo, at enten stopper algoritmen senest
i det n'te skridt (tilhører X(n)), eller også gør den det ikke (tilhører Y(n)).
20. Fællesmængden af et X(m) og et Y(n) er den tomme mængde Ø, hvis m ≤ n,
og ellers netop de punkter (q1,q2), for hvilke algoritmen fortsætter efter det n'te
skridt, men stopper senest i det m'te skridt.
I de kendte flotte farvebilleder [se f.eks. Peitgen & Richter, 1986] af Mandelbrots
mængde (strengt taget af de udtværede rationelle regnepunkter) er de arealer,
som har en bestemt farve, netop sådanne afgørbare fællesmængder af et
X(m) og et Y(n). Den sorte figur er ikke selve Mandelbrot-mængden, men derimod
et Y(n), hvor f.eks. n=1000, afhængig af, hvor længe man har ladet maskinen
regne.
129