PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 06.01.95
Hvis M er endelig (størrelsesorden 0 ovenfor), følger det af almindeligt anerkendte
grundsætninger i matematikken, at der eksisterer en sådan eksplicit udvalgsfunktion.
Hvis M er af uendelig størrelsesorden 1, findes der også en eksplicit udvalgsfunktion.
F.eks. kan man give alle elementer i M et nummer, og til enhver delmængde
D i M definere det udvalgte element m som det element i D, der har
lavest nummer. (Spørgsmålet er dog ikke helt så trivielt, som det lyder, men
kræver en meget "blød" og ikke-kontroversiel udgave af udvalgsaxiomet (The
Denumerable Choice Axiom), som vi imidlertid ikke behøver at interessere os
for her. Jeg nævner det kun for en ordens skyld).
Hvis M er af uendelig størrelsesorden 2, er det straks værre. […] Det er faktisk
bevist, at der i dette tilfælde ikke eksisterer nogen eksplicit udvalgsfunktion!
Der findes ikke nogen regel, ikke noget kriterium, som i enhver forelagt del af
den reelle tallinie kan udskille netop ét tal. […].
Det, som udvalgsaxiomet nu hævder, er simpelthen, at der i alle tilfælde af M’s
størrelsesorden (og dermed også i tilfælde 2 ovenfor) alligevel eksisterer en
udvalgsfunktion! Den er bare ikke eksplicit, eller konstruktiv, som det kaldes i
dag. Denne formulering, som skyldes Kurt Gödel, kaldes også for The Axiom of
Global Choice, og er under visse forudsætninger en smule stærkere end Zermelos
oprindelige formulering, som jeg (kun let omskrevet) citerede i mit brev
den 19. dec., hvor jeg diskuterede med Tia […]. Men den regnes i almindelighed
for helt ækvivalent med Zermelo's axiom.
Det er denne påstand om eksistensen af en ikke-konstruktiv udvalgsfunktion,
som er det ikke-uskyldige i udvalgsaxiomet, og som provokerede den matematiske
verden voldsomt i århundredets begyndelse. Man blev først beroliget, da
Gödel i 1938 beviste, at man virkelig kunne tillade sig at hævde udvalgsaxiomet
uden at komme i modstrid med den hidtidige matematik. Som sagt (i mit svar
14. dec. til Niels) var dette heldigt, fordi man faktisk på dette tidspunkt havde
indset, at man ikke kunne undvære axiomet, hvis man ikke skulle smide det meste
af matematikken ud, også store dele af matematikken før Zermelo, som implicit
havde forudsat axiomet!
Men helt at opgive ethvert håb om, at udvalgsfunktionen alligevel i sidste ende
skulle vise sig at være konstruktiv, blev man først tvunget til med Cohens bevis
i 1963.
Og så til dine "tillægsspørgsmål", hvor jeg nok foreløbig vil sige "en illustration
af", "et billede af" eller lignende i stedet for "et bevis på":
1. Enig, hvis det betyder, at vi aldrig kan udvikle et universelt beskrivelsesapparat,
som vil kunne bruges til éntydigt at udpege de genstande, som vi rent
praktisk udpeger og forholder os til i verden.
37