PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01. 95
Forhåbentlig virker denne regel indlysende, også hvis X eller Y skulle være den
tomme mængde Ø.
Da det for alle mængder X og Y gælder, at
X = (X\Y)∪(X∩Y)
og at (X\Y) og (X∩Y) er adskilte, altså
(X\Y) ∩ (X∩Y)=Ø
så følger det af additionsreglen, at det for alle mængder X og Y gælder, at
(4) n(X) = n(X\Y)+n(X∩Y)
Prøv selv at bruge definitionerne fra Studiebrev 3 og tegn det med "mængdeboller",
som man for anskuelighedens skyld også kan bruge til at illustrere endelige
mængder, selv om vi i Studiebrev 3 kun brugte dem til at illustrere uendelige
mængder. Ved at bytte om på X og Y får vi tilsvarende
(5) n(Y) = n(Y\X)+n(X∩Y)
idet X∩Y = Y∩X, jfr. Studiebrev 3.
Det ses også, f.eks. ved at kigge på "mængdeboller", at det for alle mængder X
og Y gælder, at
X∪Y = (X\Y)∪(X∩Y)∪(Y\X)
hvor de tre mængder til højre for lighedstegnet er adskilte, dvs. parvis adskilte.
Altså er også ifølge additionsreglen
(6) n(X∪Y) = n(X\Y)+n(X∩Y)+n(Y\X)
Her blev additionsreglen brugt på tre led i stedet for to. Men da både operationen
" ∪ " og operationen "+" er associative, jfr. Studiebrev 3, er en udvidelse af
additionsreglen til et vilkårligt endeligt antal adskilte mængder uproblematisk.
Ved nu først at omskrive ligning (6) og dernæst indsætte ligningerne (4) og (5) i
(6), får vi, at
n(X∪Y) = n(X\Y)+n(X∩Y)+n(Y\X) + n(X∩Y)-n(X∩Y) =
(n(X\Y)+n(X∩Y)) + (n(Y\X)+n(X∩Y)) - n(X∩Y) =
n(X)+n(Y)-n(X∩Y), eller
(7) n(X∪Y) = n(X)+n(Y)-n(X∩Y)
Sagt på (næsten) almindeligt dansk: Når vi tæller X∪Y ved først at tælle X og så
tælle Y og derefter lægge tallene sammen, er vi kommet til at tælle X∩Y med to
gange og må altså trække størrelsen af X∩Y fra igen.
45