PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95
22. Så vidt jeg kan vurdere, er denne tolkning en rimelig praktisk og materialistisk
funderet realisme imellem den naivt realistiske og den objektivt idealistiske
yderpol. Altså matematikken som generaliserende og alment foregribende i
forhold til det empiriske, og hverken efterstillet eller løsrevet.
Tolkningen passer formentlig også godt på matematikkens faktiske historiske
udvikling i vekselvirkning med de empiriske videnskaber. Måske passer den
også på matematikkens forhold til psykologien!
Så vidt jeg kan bedømme, ligger ovenstående forståelse af matematikken også
ganske tæt på den realisme, som de facto ligger bag moderne matematikeres
erklærede platonisme, bl.a. Penrose's, og ifølge ham også både Gödels og Cohen's,
som begge hævder, at et formelt uafgørbart axiom godt kan være semantisk
eller referentielt sandt, f.eks. et sandt udsagn om de hele tal.
23. Men dette realistiske standpunkt betyder dog ikke, at man dermed har en
fuldstændig og tilstrækkelig vejledning i, hvilke axiomer der skal inddrages i
matematikkens grundlag.
I forordet til sin bog Zermelo's axiom of choice. Its origin, development, and
influence citerer G.H. Moore (1982, p. 4) således med beklagelse Jean Dieudionne
for følgende:
The proofs by Gödel and P. Cohen that the Axiom of Choice and the Continuum
Hypothesis are undecidable, and the numerous metamathematical
works which resulted, have greatly changed the views of many mathematicians
... Beyond classical analysis (...) there is an infinity of different possible
mathematics, and for the time being no definitive reason compels us
to choose one of them rather than another.
Heroverfor udtrykker G.H. Moore det mere realistisk funderede håb, at der bliver
fundet nogle tilstrækkeligt stærke og konsekvensrige axiomer, som "will
restore the unity of set theory and, with it, the foundations of mathematics".
24. For at opsummere indebærer en realistisk forståelse af matematikken, som
vil blive fulgt i det følgende, at axiomer kan optræde på to måder.
I de tilfælde, hvor det matematiske objekt er givet på forhånd, som f.eks. de
hele tal eller de reelle tal eller den euklidiske tre-dimensionale geometri, kan
axiomerne have karakter af (syntetisk) sande påstande om objektet.
I andre tilfælde kan axiomerne have karakter af definitioner af matematiske objekter,
f.eks. inden for rammerne af et andet mere omfattende objekt. F.eks. den
euklidiske tre-dimensionale geometri som et særtilfælde defineret ved parallelaxiomet
inden for et i forvejen veldefineret mere generelt geometrisk objekt.
79