PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 14. Jens Mammen, 02.04.96
9. Det ser nemlig ud til, at der ikke findes andre rum end de maksimale perfekte
topologier, som opfylder de 11 axiomer og Påstand 1! Hvis det virkelig er tilfældet,
betyder det, at Påstand 1 (forudsat de 11 axiomer og definitionen på afgørbar
kategori som en foreningsmængde af en sanse- og en udvalgskategori)
implicerer udvalgsaxiomet! Da udvalgsaxiomet omvendt (forudsat de 11 axiomer
etc.) implicerede Påstand 1, vil dette sige, at Påstand 1 i så fald (forudsat
de 11 axiomer etc.) er en ny udgave af udvalgsaxiomet!!
Med andre ord er påstanden om, at sanse- og udvalgskategorierne "udtømmer"
U, i så fald det samme som at hævde selve udvalgsaxiomet (foruden at den selvfølgelig
implicerer, at basens kardinalitet er større end U's kardinalitet, og dermed
umuligt kan være numerabel).
10. Hoffmann-Jørgensen er overbevist om, at denne identitet mellem Påstand 1
og udvalgsaxiomet er gyldig, men det er ikke lykkedes ham at bevise det. Lad
mig med vanlig matematik-slang kalde det for "Hoffmann’s Conjecture", altså
"Hoffmann's formodning".
Det var Hoffmann-Jørgensens bevis, og den endnu ikke beviste yderligere formodning,
altså Hoffmann's Conjecture, som jeg fortalte Niels om i november
1994, og som gav ham ideen til disse studiebreve, og til oprettelsen af STP.
I januar 1995 havde Hoffmann-Jørgensen besøg af professor Vladimir Kanovei
fra Moskvas Universitet, som er ekspert i mængdelærens axiomatiske grundlag.
Han diskuterede problemet med Kanovei, som blev interesseret og tog det med
hjem til Matematisk Institut i Moskva. Men til dato er beviset for Hoffmann's
Conjecture ikke fundet.
11. Jeg vil i det følgende gå ud fra, at beviset for formodningen eksisterer, selv
om det altså ikke er fundet endnu, og drage nogle foreløbige konklusioner, idet
formodningen forekommer mig at have vidtrækkende konsekvenser. Desuden
vil jeg af hensyn til eventuelt særligt interesserede også fortælle lidt mere om de
maksimale perfekte topologier, som er nogle af de mest eksotiske matematiske
objekter ved i en vis forstand at være "uendeligt komplicerede" på en måde, der
gør, at de ikke kan modelleres. Det er næsten (?) sådan, at de maksimale perfekte
topologier eksisterer på samme måde, som der må eksistere en virkelig
verden bag ved matematikken, som den ikke selv kan afbilde fuldstændigt, men
som alligevel må forudsættes som eksisterende. Næsten (?) sådan, at matematikken
her peger på sin egen grænse, ligesom man kan sige, at den gør i Gödels
ufuldstændighedssætninger.
168