PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 17. Jens Mammen, 25.01.97
stande i et maksimalt SU-rum er tælleligt [numerabelt]. Men det udelukkes, at
sansekategorierne har en tællelig basis, da deres basis i alle tilfælde må have
større kardinalitet end universet af genstande.
38. Hvis vi tilføjer et nyt axiom, der påstår, at sansekategorierne har en tællelig
[numerabel] basis, så har vi altså nødvendigvis defineret et ikke-maksimalt SUrum.
Ingen af de 11 axiomer vil i øvrigt blive til theoremer derved.
39. I DMS vidste jeg, at tællelig basis udelukkede et maksimalt SU-rum (se 2.
udgave, Addendum), men jeg vidste ikke, om det allerede i forvejen var udelukket
af de 11 axiomer. Det er det ikke, ved vi nu (SB16, afsnit 6, Theorem 1),
og derfor gør antagelsen om tællelig basis altså virkelig en forskel. Som det er
vist i Addendum, vil [en tællelig basis tillade eksistensen af] komplementære
tætte (eller tynde) delmængder i universet af genstande[. Disse vil] ikke begge
kunne være afgørbare, en af dem vil være "transcendent" i forhold til vores muligheder
for afgørbarhed [og dermed udelukke et maksimalt SU-rum].
40. Jeg vender tilbage til en diskussion af tællelig basis for sansekategorierne
som udtryk for, at de sensoriske afgørelser i princippet kan udføres af en computabel
mønstergenkender (jfr. SB12, afsnit 15 og afsnit 23). Hvis vi er sådanne
mønstergenkendere, vil det altså i sig selv indebære, at visse uendelige delmængder
i universet af genstande er uafgørbare. Resultatet er beslægtet med
Gödels ufuldstændighedstheoremer, men er mere generelt.
41. Om vi er sådanne "maskiner", vil jeg her lade stå åbent, men det tror jeg
ikke, vi er. Eller rettere, for at forebygge misforståelser: Det er vi ikke kun.
Selvfølgelig kan vi lave computabel mønstergenkendelse og opføre os som Turing-maskiner.
Det er ingen forhåbentlig i tvivl om. Spørgsmålet - også spørgsmålet
om tællelig basis - går udelukkende på, om vi kan mere, og er nødt til at
kunne mere.
42. For eventuelle feinschmeckere kan jeg tilføje, at det også drejer sig om muligheden
for at lave en model [af vores ”sensoriske rum”], der er konvergent i et
uendelig-dimensionalt metrisk rum […], dvs. den principielle mulighed for
PDP-simulering, eller spørgsmålet om, hvorvidt der overhovedet findes en metrik,
der definerer de åbne mængder (sansekategorierne) i rummet? Det gør der
ikke, hvis sansekategoriernes basis ikke er tællelig.
201