PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
være en åben mængde. Omvendt er enhver åben mængde i en perfekt topologi i
sig selv tæt. I en maksimal perfekt topologi er de åbne mængder derfor netop
alle i sig selv tætte delmængder.
Vi skal nu vise, at en perfekt topologi, hvor de åbne mængder netop er alle i sig
selv tætte delmængder, er en maksimal perfekt topologi. Lad os nemlig se på en
(potentielt) ny perfekt topologi, der indeholder den første perfekte topologi.
Fællesmængden af en åben mængde fra hver af disse topologier er selv åben i
den nye topologi og dermed tom eller uendelig. Altså har den åbne mængde i
den nye topologi ikke isolerede punkter i den første topologi, og altså er den i
sig selv tæt i denne. Men dermed er den allerede selv en åben mængde i den
første topologi, der altså indeholder den nye topologi. Dermed er den første perfekte
topologi maksimal.] Det ses heraf, at
- Et topologisk rum er en maksimal perfekt topologi, hvis og kun hvis netop alle
mængder, der er tætte i sig selv, er åbne mængder i rummet.
Da en tæt mængde i en perfekt topologi som sagt er i sig selv tæt, er enhver tæt
mængde dermed åben i en maksimal perfekt topologi. Altså kan den ikke samtidig
være tynd, da en tynd mængde ikke indeholder nogen ikke-tom åben
mængde. Altså kan komplementet til en tæt mængde ikke selv være en tæt
mængde i en maksimal perfekt topologi. Og tilsvarende kan komplementet til
en tynd mængde heller ikke være en tynd mængde.
7. Lad os nu antage, at en maksimal perfekt topologi har en numerabel basis. Vi
kan altså nummerere de åbne mængder i basen, så at de tildeles hver deres naturlige
tal. Vi kan nu i hver åben mængde fra basen vælge to punkter, således at
punkterne fra mængde nr. n, x(n) og y(n), er forskellige fra alle x(1), y(1), ... ,
x(n-1), y(n-1). Hvis dette skal gøres for alle mængder i basen, forudsætter det
nok en udgave af udvalgsaxiomet (Axiom of Dependent Choices). Men det er
ikke noget problem for os, da eksistensen af den maksimale perfekte topologi i
forvejen forudsætter udvalgsaxiomet (i form af Zorn's Lemma). Mængden X af
alle x'erne er nu tæt i rummet, da enhver åben mængde i rummet indeholder en
åben mængde fra basen og dermed et x. X's komplement er imidlertid også tæt i
rummet, da alle åbne mængder også indeholder et punkt fra X's komplement,
nemlig et y. Altså indeholder rummet to tætte mængder, som er komplementer, i
modstrid med udgangspunktet, at rummet var en maksimal perfekt topologi.
Altså kan den maksimale perfekte topologi ikke have en numerabel basis.
Ovenstående bevisførelse svarer helt til den, som er gennemført i DMS Addendum
s. xvi-xvii, jfr. diskussionen i DMS, s. 407, fodnote 67. Den kan imidlertid
udvides til ethvert tilfælde, hvor basen i rummet har en kardinalitet, som er
mindre end eller lig med den underliggende mængdes kardinalitet, fordi der altid
i disse tilfælde kan defineres en parring mellem (x,y)-par i den underliggende
176