PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 1. Jens Mammen, 12.12.94
Kort sagt: Alle burde kunne følge med, hvis man blot er lidt tålmodig og har lidt
sans for logik. Hvis man aldrig har forstået, hvad en logaritme er, gør det ikke
spor. En del af de emner, jeg vil komme ind på, er der dog allerede en del af jer,
som kender til. F.eks. ved jeg, at Benny, Arne og Jan Riis Flor (og måske andre?)
er velbevandrede inden for matematisk logik og mængdelære. Det vil jeg
se bort fra i fremstillingen. Men selvfølgelig håber jeg, at de, som ved noget om
disse ting i forvejen, også vil bruge det til kommentarer, kritik, etc.
I det hele taget siger det sig selv, at jeg vil være meget taknemmelig for alle
slags kommentarer og spørgsmål […].
Jeg har lavet en foreløbig liste over de emner, som jeg vil komme ind på i mine
studiebreve. Men jeg har ikke overblik over, hvor mange breve der er nødvendige
for at komme igennem det hele, eller hvor lange de skal være hver for sig.
Jeg er heller ikke sikker på rækkefølgen af emnerne, da jeg hele tiden bliver
opmærksom på nye sammenhænge mellem emnerne, efterhånden som jeg skriver
om dem.
Alligevel giver jeg jer listen nedenfor, selv om den mest tjener som huskeseddel
for mig selv. Meget af det vil sikkert være volapyk for en del af jer. Det skal I
ikke tage jer af. Jeg vil selvfølgelig forklare det efterhånden.
Ib Foreløbig emneliste (NB! IKKE DISPOSITION)
Om formel logik og mængdealgebra
Om axiomatiske systemer. Historien om parallelaksiomet. Fra realisme til formalisme.
"Hilberts program", Gödel's opdagelser. Formalismens sammenbrud.
Om matematiske objekter og modeller. Modelteori.
Matematiske objekter defineret ved konstruktion (f.eks. de rationelle tal) eller
som billeder (f.eks. euklidisk geometri).
Mængdelære. Diskussionerne om, hvad en mængde er. "Kagen og kniven". Paradokserne
fra århundredets begyndelse og deres løsning i den moderne mængdelære.
Mængder, afbildninger og relationer. Matematiske objekter som organiserede
mængder.
Eksempler på matematiske objekter: Endelige mængder og uendelige mængder.
Uendelighedsbegrebets udvikling. Forskellige kardinaliteter. Hvad er tællelighed?
Cantor's theorem. De reelle tal. Kontinuumshypotesen og den generaliserede
kontinuumshypotese.
Hvad er matematikkens genstand? Hvad handler den om? Strukturer i uendelige
mangfoldigheder? Er matematikkens genstandsområde virkeligt, billeder, modeller,
analytiske sandheder? Konstruktivisme, "platonisme".
Zermelo-Fraenkel's predicate calculus. Löwenheim-Skolem's theorem.
3