PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 9. Jens Mammen, 15.05.95
15. Beviset ovenfor gjaldt en funktion fra R til R. Men som det forhåbentlig kan
ses, kan bevisets logik gentages for en vilkårlig afbildning fra et topologisk rum
på en mængde X ind i et topologisk rum på en mængde Y, hvor definitionen af
kontinuitet i et punkt nu henviser til åbne mængder (eller blot omegne) og ikke
specielt til åbne intervaller.
Vi har derfor helt generelt, at en afbildning fra et topologisk rum ind i et topologisk
rum er kontinuert, hvis og kun hvis originalmængden til enhver åben
mængde er en åben mængde.
16. Det gælder for enhver afbildning fra en mængde X ind i en mængde Y, at
hvis originalmængden til en delmængde DY er DX, vil originalmængden til Y\DY
være X\DX. Altså følger det af ovenstående sætning, at en afbildning fra et topologisk
rum ind i et topologisk rum er kontinuert kun hvis originalmængden til
enhver afsluttet mængde er en afsluttet mængde.
17. Den generalisation af kontinuitetsbegrebet, som er givet med den ovenstående
sætning, er et af topologiens stærkeste resultater og grundstenen i den geometriske
topologi, som vi om lidt skal se. Bemærk, at kontinuitetsbegrebet kun
forudsætter afbildningsbegrebet og de tre axiomer for topologiske rum.
18. Det er vigtigt at huske, at sætningen om kontinuitet omhandler originalmængder.
Derimod behøver billedmængden af en åben mængde ved en kontinuert
afbildning ikke at være åben. F.eks. er funktionen y=sin(x) en kontinuert
afbildning fra R ind i R. Den åbne mængde R afbildes her ind på det lukkede
interval -1 ≤ y ≤ 1, som ikke er en åben mængde. Et andet eksempel med samme
2x
egenskaber vil være funktionen y = .
2
1 + x
Billedmængden af en afsluttet mængde ved en kontinuert afbildning behøver
heller ikke at være afsluttet. I Studiebrev 4 omtalte vi f.eks. et par kontinuerte
afbildninger af den afsluttede mængde R ind på det åbne interval 0 < y < 1, som
ikke er afsluttet.
Der findes ganske vist afsluttede mængder, som ved enhver kontinuert afbildning
vil afbildes i afsluttede mængder. Det gælder bl.a. for et begrænset lukket
interval på R, som f.eks. -1 ≤ x ≤ 1. En sådan mængde kaldes absolut afsluttet
eller kompakt (eng.: compact). En kontinuert afbildning afbilder altid en kompakt
mængde på en kompakt mængde. Jeg vender tilbage til begrebet kompakthed
senere.
(Der findes topologiske rum, hvori en kompakt mængde ikke behøver at være
afsluttet, nemlig rum, der ikke er Hausdorff-rum, et begreb, som jeg også ven-
117