PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 10. Jens Mammen, 06.06.95
21. Som det ses, opfylder mængden af de således definerede afgørbare mængder
X(n) og Y(n) kravene til mængden af åbne mængder i et topologisk rum på en
underliggende mængde M, som det er defineret i de tre axiomer, som jeg gentager
her:
Axiom 1: M og Ø er åbne mængder.
Axiom 2: Fællesmængden af to åbne mængder er en åben mængde.
Axiom 3: Foreningsmængden af en vilkårlig mængde åbne mængder er en åben
mængde.
Altså udgør de afgørbare mængder ud fra algoritmen netop de åbne mængder i
et topologisk rum.
22. Spørgsmålet er nu, om det topologiske rum, der således er defineret ved at
lade de afgørbare mængder X(n) og Y(n) i eksemplet være åbne, er algebraisk,
altså om komplementet til alle åbne mængder er åbent.
Jeg vil besvare dette spørgsmål negativt ved at vise, at det topologiske rum ikke
engang er operationelt symmetrisk. Der findes faktisk en fællesmængde af åbne
mængder, som ikke er åben, nemlig mængden Y, altså selve Mandelbrots
mængde, som er komplementet til X.
Da X jo er foreningsmængden af alle X(n), er Y netop fællesmængden af alle
Y(n). At afgøre, at et punkt tilhører Y, kræver altså, at det ud fra algoritmen afgøres,
at det er medlem af samtlige Y(n), og det er naturligvis umuligt. Eller
med andre ord: uanset, hvor længe man venter, får man aldrig vished for, at algoritmen
ikke vil stoppe på et eller andet tidspunkt. Altså er Y, dvs. Mandelbrots
mængde, ikke afgørbar ud fra algoritmen.
Altså er det topologiske rum, som udgøres af de afgørbare mængder ud fra algoritmen,
hverken algebraisk eller operationelt symmetrisk.
23. Asymmetrien mellem Axiom 2 og Axiom 3 for åbne mængder i en topologi
svarer altså i dette tilfælde til den asymmetri, der gælder for afgørbare mængder:
At et punkt er med i foreningsmængden af en mængde afgørbare mængder,
kræver blot, at det er med i én af mængderne, og det kan jo i princippet afgøres,
fordi enhver af mængderne er afgørbar.
At et punkt er med i fællesmængden af en mængde afgørbare mængder, kræver
derimod, at det er med i samtlige afgørbare mængder, og det kan, hvis der er
uendeligt mange mængder, kræve en uendelig - og dermed uigennemførlig -
130