PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 06.01.95
Svar til Preben Bertelsen
Kære Preben!
Du fisker efter en mere præcis udgave af udvalgsaxiomet, end jeg har givet indtil
nu. Den kan faktisk også gives, hvis vi forudsætter nogle af de begreber, som
vil blive diskuteret i Studiebrev 4, hvor jeg så havde tænkt mig at vende tilbage
til udvalgsaxiomet. Det vil jeg stadigvæk gøre. Men jeg tror godt, at jeg kan
forklare sagen allerede nu.
I Studiebrev 4 vil det blive forklaret, hvordan der er radikal forskel på følgende
tre slags mængder (som jeg i stedet for tilfælde 1, 2 og 3 kalder tilfælde 0, 1 og
2, af grunde, som vil fremgå af Studiebrev 4):
0. Endelige mængder
1. Uendelige mængder, der er af samme størrelsesorden som mængden af naturlige
tal, dvs. 0, 1, 2, ...
2. Uendelige mængder, der er af samme størrelsesorden som den reelle talakse
eller punkterne på en kontinuert linie, eller som er af endnu større størrelsesorden.
Det må man bare acceptere her. Jeg beviser det i Studiebrev 4. Hvis det følgende
er uforståeligt, så vent med at læse det til efter Studiebrev 4.
Lad os nu se på en mængde M, som enten er af størrelsesorden 0, 1 eller 2 ovenfor,
og lad os se på mængden af dens delmængder, potensmængden P(M), jfr.
Studiebrev 3. Lad os nu definere en funktion f fra P(M)\Ø ind i M, dvs. en relation,
som til ethvert ikke-tomt element D i P(M) tilordner et element m i M.
Hvis funktionen opfylder det krav, at ethvert sådant m er et element i det tilsvarende
D, så kaldes f en udvalgsfunktion (engelsk: choice function).
Sagt med andre ord er en udvalgsfunktion en relation, som til enhver ikke-tom
delmængde D i M udpeger et af elementerne i D. Udvalgsfunktionen må gerne
udpege samme element m for forskellige D (der indeholder det samme m).
Hvis et menneske i den virkelige genstandsverden bliver konfronteret med en
mangfoldighed af genstande, som kan skelnes fra hinanden, vil det ikke have
besvær med at udpege en af dem, uden at formulere nogen regel, som det gøres
efter. Man tager bare en af dem, så at sige, fordi de er "for hånden".
Men i matematikken stiller man traditionelt stærkere krav til en "agent", der udfører
et sådant valg. Man kalder det en funktion og kræver, at den er "eksplicit",
altså på en eller anden måde veldefineret ved en regel, et kriterium eller lignende.
Man taler faktisk om en "eksplicit funktion" i et sådant tilfælde.
Spørgsmålet er nu, om der eksisterer en eksplicit funktion, der opfylder kravet
til en udvalgsfunktion, som defineret ovenfor.
36