PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Tia Hansen og Jens Mammen, 19.12.94
nistiske som psykologer). Jeg tror, at de eneste rigtige konstruktivister, der er
tilbage, er AI-folk og nogle få idealistiske filosoffer, f.eks. Justus Hartnack, som
vist endda er finitist (i hvert fald i sin seneste bog: Erkendelsens grundlag. Paradokser
inden for logikkens og matematikkens filosofi, 1993. Jeg har [oprindeligt]
ikke sat den på litteraturlisten, da jeg ikke mener, at den genspejler det aktuelle
stade inden for matematik og logik. F.eks. anerkender den de facto ikke
eksistensen af irrationelle tal).
I øvrigt er konstruktivismen ofte forbundet med, hvad der med et lidt misvisende
ord er blevet kaldt "intuitionisme", nemlig en afvisning af, at en matematisk
påstand overhovedet er sand, før en eller anden matematiker ved at følge en
konstruktivistisk metode har gennemført et subjektivt overbevisende bevis for
den. Indtil da er den hverken sand eller falsk. Matematikkens genstande består
altså ikke af, hvad der principielt kan konstrueres, men kun af, hvad der allerede
er konstrueret af et subjekt (en matematiker som regel, må man tro). Der findes
derfor heller ikke matematiske opdagelser ifølge intuitionisterne, kun opfindelser.
[Tia:] For det andet: I afsnittet umiddelbart efter skriver du, at det kan være
svært at forstå, og så kommer du med et eksempel, som skulle være lettere. Men
eksemplet forvirrede mig tværtimod. Problemet er, hvad (vel)ordnet vil sige. Du
skriver, at du vender tilbage til det, så måske foregriber jeg. Men lad mig alligevel
lige prøve at formulere min u-forståelse. Jeg prøver at stille det op, så det
skulle være let at pege på, hvor misforståelsen ligger: 1. Alle mængder er potentielt
velordnede, i en eller anden forstand. 2. Nogle uendelige mængder kan
ikke rækkeordnes. - 3. Disse er velordnede i en anden, "svagere" forstand. 4.
"Velordnet" i denne forstand vil sige, at ordningen kan udpege mindst ét element
i mængden. (5. og denne ordning svarer til udvalgsaksiomet).
[Jens:] Ja, lige netop. Indtil nu helt enig!
[Tia:] 6. Vi må altså kunne sige, at vi har: - en uendelig mængde: A(lle) - og en
ordning af A's elementer, som består i udpegning af ét element: u(dvalgt) - intet
andet. Hermed er egentligt blot ét element "ordnet" over for resten. Er mængden
A som sådan så velordnet? Jeg kan godt se, at den er ordnet i to komplementærmængder
(hedder det vist; DMS er på PI): Uendelig mængde A = to
ægte delmængder, nemlig: mængde U (indeholdende element u) + mængde ej-U
(indeholdende alle de andre) Men er det bare det, der er pointen?
[Jens:] Ja på sin vis er det bare det, der er pointen. Imidlertid er dette meget
svage krav faktisk (men svært bevisligt) identisk med et krav, der lyder lidt
stærkere, og som er det, som man forstår ved velordnethed. Ifølge dette skal der
i mængden A eksistere en relation < (en generalisering af "mindre end"), så at
det for alle elementer x, y og z i A gælder, at hvis x