PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

IVd En basis i et topologisk rum
Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95
1. I standardtopologien på den reelle talakse R, som vi diskuterede i sidste del
af Studiebrev 7, var de åbne mængder, foruden Ø og R selv, alle foreningsmængder
af åbne intervaller på R.
Lad os forsøge at definere en lidt anden topologi på R, idet de åbne mængder
nu, foruden naturligvis Ø og R selv, er alle foreningsmængder af åbne intervaller
med rationelle endepunkter. I standardtopologien kunne endepunkterne jo
være hvilke som helst reelle tal, altså såvel rationelle som irrationelle.
Det viser sig imidlertid, at vi med den nye definition af åben mængde får defineret
nøjagtig den samme standardtopologi på R som med den oprindelige definition.
Årsagen er den simple, at ethvert åbent interval med reelle endepunkter
er en foreningsmængde af alle de åbne intervaller med rationelle endepunkter,
som er indeholdt i intervallet. Dermed er ethvert åbent interval på R også en
åben mængde i den nye topologi.
Lad os f.eks. tage et åbent interval med de irrationelle endepunkter henholdsvis
2 og 3 . For ethvert punkt i dette interval gælder det, at der findes et åbent
interval med rationelle endepunkter, der indeholder punktet og ligger inde i intervallet
med irrationelle endepunkter. Mellem hvilke som helst to reelle tal ligger
der nemlig uendeligt mange rationelle tal, hvoraf vi blot kan vælge ét som
endepunkt.
Da dette som sagt gælder for ethvert punkt i intervallet, må intervallet netop
være foreningsmængden af alle intervaller med rationelle endepunkter, som det
indeholder.
2. Vi kunne altså i vores definition af standardtopologien have nøjedes med at
definere nogle af de åbne mængder og derefter definere resten som foreningsmængder
af de første. En sådan delmængde af de åbne mængder kaldes en basis
for det topologiske rum.
Mængden af åbne intervaller på R var en basis for standardtopologien. Men
mængden af åbne intervaller med rationelle endepunkter var en anden mulig
basis for den samme topologi.
3. En mængde af åbne mængder er altså basis (eng. basis eller base) i en topologi,
hvis det for enhver åben mængde i topologien gælder, at den er en foreningsmængde
af åbne mængder fra basen.
En anden og ækvivalent definition siger, at en mængde af åbne mængder er basis
i en topologi, hvis det for ethvert punkt i rummet og enhver åben mængde,
der indeholder punktet, gælder, at der findes en åben mængde fra basen, som
101