PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 7. Jens Mammen, 30.04.95
14. I et topologisk rum kaldes komplementet i M til en åben mængde for en afsluttet
mængde (eng.: closed set). M og Ø er altså både åbne og afsluttede, da de
er hinandens komplementer i M, og begge er åbne ifølge Axiom 1.
På grund af dualitetsreglerne kunne vi altså lige så godt have formuleret vore tre
krav til et topologisk rum som axiomer for afsluttede mængder på følgende
måde:
Axiom 1a: M og Ø er afsluttede mængder.
Axiom 2a: Foreningsmængden af to afsluttede mængder er en afsluttet mængde.
Axiom 3a: Fællesmængden af en vilkårlig mængde afsluttede mængder er en
afsluttet mængde.
Bemærk, at når "åben" erstattes med "afsluttet", skal "fællesmængde" erstattes
med "foreningsmængde" og vice versa på grund af dualitetsreglerne.
15. I vores eksempel på et "endelig komplement rum" ovenfor er de afsluttede
mængder netop alle endelige mængder, samt Ø og M. Nu er sammenhængen
mellem eksemplet og asymmetrien i axiomerne ovenfor nok mere umiddelbart
synlig, end da vi talte om de åbne mængder.
Axiom 1a giver sig selv.
Axiom 2a er opfyldt, fordi foreningsmængden af to endelige mængder er endelig.
Axiom 3a er opfyldt, fordi fællesmængden af en vilkårlig mængde endelige
mængder er endelig.
Bemærk igen, at foreningsmængden af en vilkårlig mængde endelige mængder
ikke behøver at være endelig. Altså er der eksempler på, at foreningsmængden
af afsluttede mængder ikke selv er afsluttet.
16. Vort eksempel illustrerer også, at der er mange mængder i det topologiske
rum, som hverken er åbne eller afsluttede, nemlig alle uendelige mængder med
uendeligt komplement, f.eks. mængden af lige tal.
I eksemplet er de eneste mængder, der både er åbne og afsluttede, Ø og M. Et
sådant topologisk rum kaldes sammenhængende. Men der findes også mange
eksempler på ikke-sammenhængende topologiske rum, hvor der altså er andre
mængder end Ø og M, som både er åbne og afsluttede. Det vender vi tilbage til.
93