PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96
Lad nu b være et punkt i B. Da b er isoleret i B, findes der altså en åben
mængde, hvis fællesmængde med B er {b}. Hvis B var åben, ville der dermed
findes en åben mængde, nemlig fællesmængden, som kun indeholdt ét element,
nemlig {b}. Dette strider imidlertid mod, at topologien er perfekt. Altså kan B
ikke være åben, og altså indeholder A ikke nogen åben mængde. Dermed er A
altså tynd. Ergo er foreningsmængden af to tynde mængder tynd. Heraf følger
så Axiom 10.
Vi mangler nu kun at vise, at Påstand 1 også er opfyldt. Lad nu A være en vilkårlig
delmængde i den maksimale perfekte topologi. A vil være foreningsmængden
af sit indre int(A) og "resten" A\int(A). Da int(A) er åben, og A\int(A)
ikke kan indeholde en åben mængde, er A\int(A) altså en tynd mængde. Dermed
er enhver delmængde A foreningsmængden af en åben mængde og en tynd
mængde, og altså i vores interpretation foreningsmængde af en sanse- og en udvalgskategori.
Dermed er Påstand 1 altså gyldig i vores interpretation.
9. Det kan måske være vanskeligt at se, hvorfor en perfekt topologi skal være
maksimal for at muliggøre en interpretation, hvor de 11 axiomer og Påstand 1 er
gyldig. Lad os f.eks. i en almindelig konstruktiv perfekt topologi interpretere de
åbne mængder som sansekategorier og de tynde mængder som udvalgskategorier.
Det viser sig, at samtlige 11 axiomer og Påstand 1 er gyldige, og at beviserne
herfor er helt identiske med dem, vi har brugt ovenfor for den maksimale perfekte
topologi - med én undtagelse, nemlig Axiom 10, der indebærer, at foreningsmængden
af to tynde delmængder altid selv er tynd, eller at fællesmængden
af to tætte mængder altid selv er tæt. Det vil som sagt gælde i en maksimal
perfekt topologi, men det vil f.eks. ikke være opfyldt i standardtopologien, hvor
både Q og R\Q er tynd, men hvor deres foreningsmængde er R, som jo er åben
og dermed ikke kan være tynd.
Lad os betragte en vilkårlig delmængde A i en maksimal perfekt topologi, der
som nævnt i afsnit 8 ovenfor er foreningsmængden af en åben mængde og en
tynd mængde. Det samme må gælde for A's komplement i topologien, som er
foreningsmængden af en åben mængde, som er A's ydre, og en tynd mængde.
Foreningsmængden af de to tynde mængder er selv en tynd mængde og er A's
rand. Altså gælder det, at
- i en maksimal perfekt topologi er enhver rand en tynd mængde.
Denne egenskab kan åbenbart ikke forekomme i en almindelig konstruktiv perfekt
topologi, men muliggør altså på den anden side gyldigheden af de 11 axiomer
og Påstand 1.
At der virkelig ikke findes andre perfekte topologier end de maksimale, som
muliggør gyldigheden af de 11 axiomer og Påstand 1, er den påstand, som jeg i
Studiebrev 14, afsnit 10, kaldte for "Hoffmann's Conjecture". Alt tyder på, at
178