PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95
er en meget speciel undtagelse ved dog at være komplet. Disse grundskud mod
formalismens forudsætninger blev dog ikke udløst før efter 1930.
Det formalistiske program betød ikke, at man i matematikken så helt bort fra, at
axiomer og theoremer havde en semantik, at de handlede om noget. Matematikken
blev stadig anset for at være et redskab til at forstå tal og figurer etc. og som
et redskab for andre videnskaber. Derimod mente man, at de metoder, som
skulle anvendes til at udvikle matematikken fra de grundlæggende axiomer,
skulle være uafhængige af semantikken, altså rent syntaktiske. Lad os derfor se
lidt nærmere på forholdet mellem de axiomatiske systemers semantik og syntaks,
som jeg har defineret disse begreber ovenfor. (Dermed imødekommer jeg forhåbentlig
også Jans ønske fra den 16. december)
Axiomerne og theoremerne indeholder nogle termer eller størrelser, "variable",
som kan interpreteres som visende hen til visse objekter eller værdier, som kan
være mængder, elementer i mængder, udsagn, sandhedsværdier (sand/falsk),
punkter, linier, tal, etc., altså noget, som axiomerne og theoremerne "handler
om", en "semantik", også kaldt en interpretation eller en model. En konsekvens
af den korrekte indsigt, der lå til grund for den matematiske formalisme, er
imidlertid, at helt uafhængigt af, hvad en sådan konkret interpretation indeholder
eller viser hen til, så må det gælde, at hvis axiomerne beskriver objekterne i
en interpretation sandt eller gyldigt, så må theoremerne også gøre det. (Ellers er
det axiomatiske system ubrugeligt, og som det siges "usundt").
Sagt på en anden måde må der ikke være nogen interpretation, for hvilket det
gælder, at axiomerne beskriver den gyldigt, og et theorem ikke gør det. Eller
sagt på en tredje måde: For ethvert theorem må det gælde, at der ikke eksisterer
nogen interpretation, som på én gang beskrives gyldigt af axiomerne og af theoremets
negation. Axiomerne og theoremets negation skal være "semantisk inkonsistente
" i ovennævnte betydning, dvs. at ingen interpretation på én gang
kan beskrives gyldigt af axiomerne og af theoremets negation. Som tankeeksperiment
kunne man altså forestille sig et theorem bevist ved at prøve samtlige
(mulige) interpretationer igennem og konstatere, at ingen af dem på én gang beskrives
gyldigt af axiomerne og theoremets negation. En sådan gennemprøvning
er dog principielt uigennemførlig for de axiomatiske systemer, som interesserer
os her.
Imidlertid ligger det i selve begrebet axiomatisk system, at et theorem skal
kunne bevises ved deduktion, afledning, fra axiomerne, helt uden "semantisk"
afprøvning på en interpretation. Dette er hele forcen ved axiomatiske systemer.
Det er det samme som at sige, at det for ethvert theorem må gælde, at der fra
axiomsættet og theoremets negation tilsammen kan deduceres, afledes, en logisk
kontradiktion, dvs. selvmodsigelse. Det skal være udtryk for en logisk
modstrid på én gang at hævde axiomerne og benægte theoremet, og dette skal
63