PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 13. Jens Mammen, 25.02.96
Jeg nævner en række af disse theoremer her med theoremernes betegnelse i
DMS i parentes, så de kan findes (i registret DMS, s. 519-522) af dem, der
skulle have lyst til at se beviserne og diskussioner af tolkningerne:
Den tomme mængde Ø er en udvalgskategori (Th. U 8), men universet af genstande
U er ikke en udvalgskategori (Th. U 18’’). Alene den sidste påstand gør,
at rummet af udvalgskategorier ikke udgør en topologi på U, jfr. Studiebrev 7,
afsnit 8. Komplementet til en udvalgskategori er ikke en udvalgskategori (Th. U
19’’). Enhver delmængde af en endelig udvalgskategori er en udvalgskategori
(Th. U 20). Af samme grund findes der udvalgskategorier, som består af netop
én genstand (Th. U 11). Der findes delmængder af U, som hverken er sansekategorier
eller udvalgskategorier (Th. SU 10’’). Ingen ikke-tom sansekategori er
delmængde af en udvalgskategori (Th. SU 17’’).
13. Specielt vil jeg dog fremhæve to centrale theoremer, nemlig hvad jeg har
kaldt henholdsvis globalitetstheoremet (Th. SU 23) og korrespondenstheoremet
(Th. DSU 10). Begge disse theoremer har jeg forlangt skulle gælde for mit axiomsystem,
og de har derfor været medbestemmende for valget af axiomer.
Globalitetstheoremet siger kort fortalt, at hele strukturen beskrevet ved de 11
axiomer gentager sig i ethvert underrum defineret ved en sansekategori, som
indeholder en ikke-tom udvalgskategori. Angående underrum eller delrum, se
Studiebrev 8, afsnit 5-7. Den struktur, som er beskrevet med axiomerne, er altså
på én gang en "makro"- og en "mikro"-struktur i U. Med andre ord er strukturen
invariant i forhold til valget af U, blot U er en sansekategori, som indeholder en
ikke-tom udvalgskategori.
Korrespondenstheoremet siger igen kort fortalt, at i enhver endelig udvalgskategori
opfattet som et underrum er både topologien induceret af sansekategorierne
og af udvalgskategorierne i U den diskrete topologi, dvs. samtlige delmængder
i underrummet, jfr. Studiebrev 7, afsnit 9 og 18-19. Hver gang vi har,
hvad jeg i DMS har kaldt et "velafgrænset tilfælde", vil alle delmængder af den
underliggende endelige mængde være såvel inducerede sansekategorier som
inducerede udvalgskategorier. Sanse- og udvalgskategorierne vil "lokalt falde
sammen" i ethvert sådant underrum, som altså vil være organiseret med den
sædvanlige mængdealgebra. Der er altså korrespondens mellem den asymmetriske
struktur i U defineret ved de 11 axiomer, og den symmetriske og diskrete
struktur i ethvert "velafgrænset tilfælde", som vi kender fra den traditionelle
"finitte" logik. Med andre ord kan de 11 axiomer anskues som en matematisk
generalisation af den diskrete topologi, idet denne genfindes inden for den generaliserede
struktur under velbeskrevne betingelser.
Dette korrespondenskrav, der forlanger, at den "gamle" struktur skal kunne genfindes
inden for den "nye" under veldefinerede betingelser, har jeg selvfølgelig
161