PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Tia Hansen og Jens Mammen, 23.01.97
plementer afsluttede. Disse komplementer er henholdsvis Ø og M, som altså
dermed begge to både er åbne og afsluttede. Eller sagt på en anden måde: Hvis
to komplementære mængder begge er åbne, er de også begge afsluttede, og vice
versa. Negationen af åben er ikke-åben, og negationen af afsluttet er ikke-afsluttet.
Negation og komplementdannelse må ikke forveksles (jfr. Studiebrev 7,
afsnit 17).
Måske kan man finde på mere dagligdags analogier. "Lærer" og "elev" er komplementære
begreber, ligesom "giver" og "modtager". Hvis jeg er lærer over for
dig, er du elev over for mig. Hvis vi begge er lærere over for hinanden, er vi
også begge elever over for hinanden (f.eks. i to forskellige sagsområder). Negationen
af en lærer er en ikke-lærer. Negationen af en elev er en ikke-elev. Også i
dette dagligdags eksempel er der forskel på negation og komplementaritet.
Hvis vi begge er givere (f.eks. i en byttehandel eller juleaften), så er vi også
begge modtagere. Og det ses tydeligt, at en ikke-giver ikke er det samme som
en modtager, og at en ikke-modtager ikke er det samme som en giver.
Helt tilsvarende, altså, med begreberne "tæt" og "tynd". Hvis to komplementære
mængder begge er tætte, er de altså også begge tynde, og vice versa. At begreberne
ikke er hinandens negationer, ses også, hvis vi kigger på deres definitioner
og ser på et eksempel.
Forestil dig de reelle tals akse R, og lad os se på den delmængde, som består af
de rationelle tal Q, altså alle brøk-tal, som jo ligger helt tæt på aksen. Komplementet
til Q (R\Q) er alle de irrationelle tal, f.eks. 2 , π, etc. De ligger også tæt
overalt på R. Der er altså to tætte mængder, som er komplementer. Men de er
også begge tynde, fordi de ikke indeholder sammenhængende åbne intervaller
på R.
Mere eksakt sagt er en mængde tæt på R, hvis ethvert åbent interval på R indeholder
mindst ét element fra mængden. Det ses at være opfyldt for både Q og
R\Q. Komplementet til en tæt mængde på R kan ikke indeholde et åbent interval,
for så var der jo et åbent interval på R, som ikke indeholdt et element fra
mængden, og så var den jo ikke tæt. En sådan mængde, som ikke indeholder
noget åbent interval kaldes co-tæt eller tynd, og den vil altså pr. definition altid
være komplement til en tæt mængde. Og det ses, at både Q og R\Q er tynde,
ligesom begge altså er tætte.
Jeg håber, at dette besvarer dit problem vedr. afsnit 5 i Studiebrev 15.
Samtidig har jeg indirekte svaret på dit forslag vedrørende mængdeboller. De er
faktisk ikke så egnede til at illustrere disse egenskaber hos delmængder, nemlig
egenskaber, der har at gøre med, hvordan delmængderne er "fordelt i hinanden".
Jeg kan faktisk ikke finde på mere illustrative modeller end netop dem med de
rationelle og de irrationelle tal, som ligger helt tæt "flettet ind i hinanden" på de
192