PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01.95
Nu er vi mennesker jo (normalt) født med 10 fingre, hvilket formodes at være
årsagen til, at vi i den moderne talnotation (med cifferpositionssystem og arabertal)
netop bruger cifrene fra 0 til 9, det såkaldte 10-talssystem. Imidlertid kan
man lige så godt skrive de reelle tal med anvendelse af flere eller færre cifre.
Specielt kan man nøjes med de to cifre 0 og 1, eller det såkaldte 2-tals system.
Decimalbrøker, som er periodiske i ét talsystem, er det også i alle andre. Decimalbrøker,
som er endelige i ét talsystem, behøver ikke at være det i andre, men
som sagt betragter vi de endelige decimalbrøker som specialtilfælde af de periodiske.
(Selv om "decimal" oprindeligt henviser til 10-talssystemet, bruger jeg
det her generelt). Eksempelvis:
10-talssystem 2-talssystem
0,1 0,000110011001100 ….
0,125 0,001
0,5 0,1
Første plads efter kommaet angiver antallet af halve i tallet, anden plads antallet
af kvarte, tredje plads antallet af ottendedele, etc. helt svarende til at der i 10tals
systemet er tale om antallet af henholdsvis 10'endedele, 100'endedele
1000'endedele, etc.
Jeg håber, at man tror mig, når jeg siger, at alle de reelle tal mellem 0 og 1 lige
så godt kan defineres som mængden af alle ægte "decimalbrøker" i 2-tals systemet,
som mængden af alle ægte decimalbrøker i 10-tals systemet. [En ægte
decimalbrøk har 0 foran kommaet].
Jeg vil nu bevise, at det er umuligt at parre de reelle tal mellem 0 og 1 (og dermed
alle reelle tal) med de naturlige tal. Lad os modsætningsvis antage, at det
kan lade sig gøre! I så fald kan de reelle tal skrives i en rækkefølge, idet hvert af
dem får et nummer i rækkefølgen svarende til det naturlige tal, som det er parret
med. Jeg kan nu ud fra denne uendelige rækkefølge af reelle tal, skrevet i 2-tals
systemet, definere et specielt reelt tal x efter følgende regel:
På første plads efter kommaet skal der stå det modsatte ciffer (0 eller 1) af det,
som står på første plads i rækkefølgens første tal. På anden plads efter kommaet
skal der stå det modsatte ciffer (0 eller 1) af det, som står på anden plads i rækkefølgens
andet tal. På n'te plads efter kommaet skal der stå det modsatte ciffer
(0 eller 1) af det, som står på n'te plads i rækkefølgens n'te tal.
Tallet x, som er konstrueret på denne måde, er et éntydigt defineret reelt tal
mellem 0 og 1. Imidlertid er det ikke med i den uendelige rækkefølge af reelle
54