PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Jens Mammen, 06.02.95
7. Med den analytiske geometri har man midler til at beskrive en 2-dimensionel
flade i et 3-dimensionalt rum, således at man både kan bestemme en værdi for
fladens ydre krumning i hvert punkt (dvs. i en vilkårligt lille omegn til hvert
punkt) og den indre krumning i hvert punkt. Men det mest interessante er, at
man også har analytiske midler til at beskrive den indre krumning i hvert punkt
på fladen alene ud fra punkternes "interne" afstande på fladen, som jo er invariante,
uanset hvordan fladen "krølles" i forhold til det 3-dimensionale rum.
Det er den sidstnævnte metode, man så anvender på den situation, hvor man
forestiller sig en 3-dimensional "flade" i et 4-dimensionalt rum. Også her kan
man definere den 3-dimensionale "flades" interne krumningsmål alene ud fra
dens "indre" afstande, dvs. under bortseen fra den 4. dimension. Altså kan man
definere en 3-dimensional geometri for et sådant 3-dimensionelt rum med indre
krumning.
8. Lobachewsky's rum er et sådant 3-dimensionalt rum med konstant negativ
krumning. Riemanns rum (jfr. Studiebrev 5) er et 3-dimensionalt rum med konstant
positiv krumning, en "hyperkugleflade". Det euklidiske rum er så det specialtilfælde,
hvor krumningen er konstant lig med 0 (nul).
Lobachewsky's og Euklids rum er uendelige, mens Riemanns er endeligt, men
1 2 3 1
uden grænse, ligesom en kugleflade (med volumen π r , hvor er krum-
3
r
ningsmålet).
9. Når sådanne rum blev anskuet som "eksisterende" i en sådan grad, at de
kunne bruges til at bevise den semantiske konsistens af ikke-euklidiske axiomsystemer,
hang det sammen med, at matematikere anså det for legitimt at generalisere
antallet af dimensioner i talmængder fra 1, 2 og 3 til 4 og flere. Når vi
havde at gøre med tal, var det ikke til at se, hvorfor der skulle gå en principiel
grænse ved 3.
10. Den analytiske geometris metoder gør det i øvrigt også muligt at definere 3dimensionale
rum, hvor krumningsmålet ikke er konstant, men er forskelligt i
de forskellige punkter, og endda har forskelligt fortegn i forskellige punkter.
Da Albert Einstein i 1915 fremsatte sin generelle relativitetsteori, beskrev han
netop vores fysiske rum som et 3-dimensionalt rum med variabel indre krumning.
Men da var begrebet for længst så accepteret, at det ikke gjorde nogen forskel
for matematikken. Til gengæld gjorde det en afgørende forskel for fysikken.
Einstein havde været ilde stedt uden den matematiske grundforskning et
århundrede tidligere.
70