PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 14. Jens Mammen, 02.04.96
7. Jeg omtalte i Studiebrev 12, afsnit 23, et spørgsmål angående forholdet mellem
kardinaliteten af U og kardinaliteten af en basis for sansekategorierne i U,
som jeg havde fået besvaret i et notat (2. sept. 1994) af Jørgen Hoffmann-Jørgensen,
Matematisk Institut, Aarhus Universitet (om kardinalitet, se Studiebrev
4 og 6). I forlængelse af det forelagde jeg Hoffmann-Jørgensen det mere generelle
spørgsmål om status'en af Påstand 1 og Påstand 2 i relation til de 11 axiomer.
Svaret kom i et 8 siders notat "Maximal Perfect Topologies" (19. sept.
1994). [Hoffmann-Jørgensen, 1994b; 2000, se bilag]
Heri bevises for det første, at det gælder generelt, at hvis rummet af sansekategorier
har en basis, hvis kardinalitet er lavere end eller lig med den underliggende
mængdes (U's) kardinalitet, så følger Påstand 2 som theorem fra de 11
axiomer. Da U's kardinalitet ikke kan være lavere end ℵ0, altså mindst må være
numerabel (da den nødvendigvis er uendelig), vil denne betingelse altid være
opfyldt, hvis blot basen har kardinalitet ℵ0, altså er numerabel, som krævet i
Axiom 12. Det var det specialtilfælde, som jeg havde bevist i Addendum.
Hoffmann-Jørgensens mere generelle bevis anvender i øvrigt samme metode,
men benytter, hvad jeg i Addendum s. xvii har kaldt "en udvidelse af de induktionsprincipper,
som er anvendt i nærværende bevis".
8. Det afgørende nye i notatet er imidlertid, at det også bevises, at hvis vi omvendt
har, at kardinaliteten af basen er større end kardinaliteten af U, og hvis vi
yderligere forudsætter en udgave af udvalgsaxiomet (Zorn's Lemma), der er i
familie med axiomet om mængders velordnethed, så er Påstand 1 forenelig med
de 11 axiomer og altså, ligesom Påstand 2, et potentielt nyt axiom!
Hermed er det åbne spørgsmål fra DMS altså besvaret helt generelt!
Svaret bevises ved fra Zorn's Lemma at udlede, at der eksisterer en særlig slags
perfekte topologiske rum, nemlig såkaldte maksimale perfekte topologier (maximal
perfect topologies), hvori alle delmængder er afgørbare kategorier ("resolvable
categories"), altså foreningsmængder af sansekategorier ("sense categories")
og udvalgskategorier ("choice categories").
Et væsentligt træk ved disse maksimale perfekte topologier er, at de ikke bare er
"særdeles uendelige", men at de ikke er konstruktive (jfr. Studiebrev 2 og 6). De
eksisterer kun under forudsætning af udvalgsaxiomet og kan ikke defineres
konstruktivt, dvs. de kan faktisk ikke beskrives eksplicit.
Hermed har jeg ikke blot fået besvaret mit åbne spørgsmål fra Addendum (og
fra DMS 1. udg.), men har fået et svar, som interpretationsmæssigt er langt
mere interessant og tilfredsstillende end de mulige svar, som jeg diskuterede i
DMS. Dette hænger sammen med det følgende.
167