PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 14. Jens Mammen, 02.04.96
VIIc Afgørbare kategorier, udvalgsaxiomet og "maksimale perfekte topologier"
1. I det sidste afsnit i Studiebrev 13 (afsnit 16) tog jeg hul på det spørgsmål,
som er emnet for dette Studiebrev 14. Spørgsmålet var, om de 11 axiomer (i
Studiebrev 13, afsnit 9-10), som definerede en syntaks for sanse- og udvalgskategorierne,
implicerede, at der i universet af genstande U nødvendigvis fandtes
delmængder, som hverken var sansekategorier, udvalgskategorier eller foreningsmængder
af sanse- og udvalgskategorier. Eller for at stille det samme
spørgsmål "symmetrisk", om de 11 axiomer tillod eller ikke tillod, at enhver
delmængde i U var en sansekategori, en udvalgskategori eller foreningsmængden
af en sanse- og en udvalgskategori.
I Studiebrev 13, afsnit 16, kom jeg også ind på, hvorfor spørgsmålet var vigtigt,
og i første omgang vil jeg henvise dertil. […]
2. I DMS definerede jeg begrebet en afgørbar kategori som foreningsmængden
af en sansekategori og en udvalgskategori (s. 396, definition Def. SUA 4). Da
den tomme mængde Ø både er en sansekategori og en udvalgskategori, og da
fællesmængden af en sansekategori og en udvalgskategori ifølge vores Axiom
11 er en udvalgskategori, ses det, at enhver sansekategori, enhver udvalgskategori
og enhver fællesmængde eller foreningsmængde af en sanse- og en udvalgskategori
er en sådan afgørbar kategori.
De afgørbare kategorier er altså netop alle de delmængder af U, som er defineret
ved at kombinere sanse- og udvalgskategorier, altså sådanne delmængder af
U (ekstensioner i U), som er definerbare med de intensioner, som definerer
sanse- og udvalgskategorierne.
Om "afgørbar kategori" er en helt velvalgt term, vender jeg tilbage til i Studiebrev
15.
3. Det ovennævnte spørgsmål drejer sig altså om, hvorvidt nedenstående påstand
er forenelig med de 11 axiomer.
Påstand 1: Enhver delmængde af U er en afgørbar kategori.
Sagt med andre ord er spørgsmålet, om de 11 axiomer tillader, at rummet af afgørbare
kategorier er organiseret som et diskret topologisk rum, jfr. Studiebrev
7, afsnit 9.
Det er klart, at Påstand 1 ikke kan være et theorem, da der findes interpretationer
af de 11 axiomer, hvor Påstand 1 ikke er opfyldt. Hvis vi f.eks. som i Studiebrev
13, afsnit 14, interpreterer sansekategorierne som de åbne mængder i
standardtopologien på R og udvalgskategorierne som alle rationelle delmængder
af R, så vil de afgørbare kategorier være alle foreningsmængder af åbne in-
165