PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 9. Jens Mammen, 15.05.95
3. Hvis vi har to mængder X og Y, kan vi definere begrebet en afbildning fra X
ind i Y, hvilket er det samme som en funktion fra X ind i Y. Jeg vil nu forklare
og diskutere disse begreber.
I første omgang kan vi definere begreberne for vilkårlige mængder X og Y og
behøver ikke at tænke på topologiske rum. Som specialtilfælde må X og Y i øvrigt
gerne være den samme mængde.
Jeg har tidligere været inde på funktionsbegrebet i forbindelse med definitionen
af en udvalgsfunktion. Men her vil jeg definere begrebet funktion eller afbildning
helt alment.
4. Lad os som sagt gå ud fra, at vi har to mængder, X og Y. Som det erindres,
diskuterede jeg i Studiebrev 2, hvad vi overhovedet skal forstå ved en mængde.
Denne diskussion fortsatte i de senere studiebreve, især i forbindelse med udvalgsaxiomet,
der jo groft sagt hævder, at en mængde godt kan eksistere, selv
om der ikke kan angives nogen eksplicit procedure eller regel eller noget eksplicit
kriterium for positivt medlemskab af mængden. Udvalgsaxiomet hævdede,
som det blev sagt, at der eksisterede ikke-konstruktive mængder.
Helt den samme diskussion kommer vi nu ind i, når vi skal tale om eksistensen
af afbildninger eller funktioner. (Fra nu af vil jeg bruge de to begreber synonymt).
5. Den sædvanlige, konstruktive, måde at definere en funktion på er at sige, at
en funktion fra mængden X ind i mængden Y er en forskrift, der til ethvert element
x i X tilskriver ét og kun ét element y i Y. Forskriften skal med andre ord
være én-tydig.
Derimod må flere x'er gerne tilskrives det samme y, ligesom nogle y'er ikke behøver
at tilskrives et x. Hvis der imidlertid også til hvert y svarer ét og kun ét x,
siges funktionen at være én-én-tydig (eng.: one-to-one) eller bijektiv.
Hvis både X og Y er den reelle talakse R, kan en funktion f.eks. være givet ved
forskriften y=x 2 . Denne funktion er ikke én-éntydig. F.eks. afbildes både 8 og -8
i 64. Funktionen y=x 3 er derimod én-éntydig. Kun 4 afbildes her i 64.
6. Dette var som sagt den konstruktive måde at definere funktioner på. Imidlertid
kan det let bevises, at hvis X og Y er uendelige, findes der flere mulige måder
at parre deres elementer på, så at der til hvert x i X svarer netop ét y i Y, end
mængden af forskrifter, der kan formuleres i et endeligt alfabet. Mængden af
forskrifter er nemlig tællelig, hvorimod mængden af mulige éntydige parringer,
er af større kardinalitet.
113