PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95
(eng.: subspace) i det topologiske rum på M. Nogle gange tales, i stedet for den
inducerede topologi på D, om den relative topologi på D.
8. Lad os nu specielt se på den topologi, som standardtopologien på den reelle
talakse R inducerer på delmængden af R bestående af mængden af rationelle tal
Q ("Q" fordi de rationelle tal er alle heltallige brøker eller "quotients"). Der er
her tale om standardtopologien på mængden af rationelle tal Q.
9. Lad os nu undersøge, hvilke egenskaber denne topologi har i forhold til de
symmetrier og asymmetrier, som blev opsummeret i skemaet i Studiebrev 7,
afsnit 19. Jeg gentager lige skemaet her:
Topologiske rum A B C D E F
Diskrete + - - - - -
Algebraiske + + - - - -
Operationelt symmetriske + + + + - -
Sammenhængende - - - + - +
10. Lad os f.eks. se på mængden af åbne mængder, som indeholder punktet 7
(som jo er et rationelt tal). Fællesmængden af dem alle er netop tallet 7, som
ikke selv er en åben mængde. Der findes nemlig intet åbent interval på R, som
kun indeholder et eneste rationelt tal.
Altså er der ikke operationel symmetri mellem operationerne dannelse af fællesog
foreningsmængde i rummet. Vi har altså at gøre med kategori E eller F i vores
skema.
11. Vi mangler nu at undersøge, om topologien er sammenhængende, ligesom
det var tilfældet for standardtopologien på R, dvs. om de eneste åbne mængder i
topologien, som også er afsluttede, er Ø og Q selv.
Lad os først se på en åben mængde som mængden af rationelle tal q, hvor q1 < q
< q2, og hvor q1 og q2 er rationelle. Komplementet i Q til denne mængde er pr.
definition afsluttet og er foreningsmængden af de rationelle tal q i intervallerne
q ≤ q1 og q2 ≤ q, hvor "≤" betyder "mindre end eller lig med". Dette komplement
er imidlertid ikke åbent, da der ikke findes nogen åben mængde i R, som kun
indeholder de rationelle tal i et (halv)lukket interval. Her er altså ikke et eksem-
103