PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 16. Jens Mammen, 26.11.96
bortset fra, at der i Axiom 8 bruges udtrykket "endelig", som strengt taget ikke
kan regnes for "first-order". [Se det senere ”Appendix. Om Axiom 8”]. Axiomerne
henviser altså ikke direkte til topologiske begreber. Topologien spiller
kun en rolle "bag scenen" som middel til at afgøre axiomernes indbyrdes logiske
relationer (dvs. deres uafhængighed) og deres implikationer for andre påstande
(theoremer), som selv så vidt muligt formuleres i et sprog svarende til
"first-order language" uden reference til topologien.
Derfor har topologien også kunnet spille en relativt tilbagetrukken rolle i DMS.
Topologiens begreber er så vidt muligt i DMS, med enkelte undtagelser, blevet
formuleret tæt på first-order language. Prisen har, som sagt i SB1, været, at topologien
selv har været svær at få begreb om ved læsning af DMS, og at mange
ræsonnementer er blevet lange, omstændelige og ad hoc-prægede i forhold til
topologiens mere kompakte generaliseringer.
4. I studiebrevene har jeg derimod, som bebudet i SB1, forsøgt at gå den modsatte
vej, nemlig starte med den generelle topologi og først efterhånden nå frem
til axiomerne for sanse- og udvalgskategorier. Men det må stadig ikke glemmes,
at topologien kun er et redskab til at udrede de ofte fjerne relationer mellem
axiomerne og deres implikationer. Relationer, som klassisk finit logik og
mængdealgebra ikke kan sætte på begreb.
Det første eksempel på topologiens force i forhold til axiomerne var, at det faktisk
kan udledes af Axiom 1 til 5, at enhver sansekategori må være tom eller
indeholde uendeligt mange genstande (punkter eller elementer), og at de fem
axiomer faktisk er indbyrdes konsistente, skønt de ville være kontradiktoriske i
enhver endelig interpretation (jfr. SB11, afsnit 7-12). Sansekategorierne er organiseret
som en perfekt topologi (jfr. SB12).
Jeg har allerede omtalt andre implikationer af axiomerne, i form af theoremer,
både i studiebrevene (SB13, afsnit 12-13) og i DMS. Det skal ikke gentages her.
5. Der hvor topologien som redskab fylder så meget, at den ikke længere holder
sig bag kulissen, men kommer med på scenen, er i forbindelse med det såkaldte
"åbne spørgsmål" i DMS. Kort sagt drejede det sig om, hvorvidt der eksisterer,
hvad jeg her vil kalde et maksimalt SU-rum.
Definition 2: Et maksimalt SU-rum er et SU-rum, hvor enhver delmængde i U
er foreningsmængde af en sansekategori og en udvalgskategori.
Definition 2 siger altså, at i et maksimalt SU-rum er enhver delmængde en "afgørbar
kategori" (jfr. SB14, afsnit 2). Det erindres, at sansekategorier og udvalgskategorier
også selv er "afgørbare kategorier".
Tilsvarende vil jeg definere et ikke-maksimalt SU-rum således:
182