PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01. 95
For de særligt teknisk interesserede (dvs. "matematik på gymnasieniveau"; andre
kan roligt springe det over) kan jeg godt give et par eksempler på en sådan
eksplicit funktion y=f(x). Første eksempel:
[y =
2
x
2 +
x
Andet eksempel:
1
+ ½]
1
y = Arctg (x) + ½
π
Styrken ved denne moderne definition af uendelighed er, at den kan anvendes
på enhver mængde uden hensyn til, om den kan ordnes, og dernæst, at definitionen
ikke indeholder begreber, der eksplicit henviser til uendelighed. Derfor er
definitionen ikke sårbar over for indvendinger, der henviser til svagheden ved
forestillinger om "uendelig fortsættelse" m.v.
Man kunne indvende mod definitionen, at den er inkonsistent. Man kan jo direkte
se, at på ethvert endeligt eksempel udelukker de to relationer ("parring
med" og "ægte delmængde af") hinanden. Det kan kun bevises, at definitionen
er konsistent ved, at man kan angive et eksempel, som den passer på (det vender
jeg tilbage til i Studiebrev 5), og det forudsætter, at man allerede har accepteret,
at der findes uendelige mængder. Imidlertid er det tilstrækkeligt for at gennemføre
et sådant eksistensbevis, at der blot findes ét sådant eksempel. Og her kan
man henvise til de naturlige tal, hvis uendelighed er givet allerede ved definitionen
for ordnede mængder, som jo direkte bygger på, at antagelsen om de naturlige
tals endelighed førte til en modsigelse (nemlig i og med den selvmodsigende
påstand om et største endeligt tal, som det blev vist ovenfor).
Derfor er Dedekinds definition tilstrækkelig immun over for indvendinger, til at
den er blevet alment accepteret som definitionen på uendelighed.
Det næste spørgsmål, der rejser sig, er nu, om vi har mulighed for at skelne
mellem forskellige uendelige mængders størrelse. Har vi metoder til at sammenligne
to uendelige mængders størrelser, ligesom vi havde det for endelige
mængders vedkommende?
Metode nr. 1, som kunne bruges på endelige mængder, nemlig at tælle mængderne
og derefter sammenligne de to antal, kan ikke bruges på uendelige mængder,
da deres størrelse jo netop ikke kan angives ved et naturligt tal.
Metode nr. 2, som sagde, at hvis en mængde var en ægte delmængde af en anden
mængde, så var den også mindre, kunne godt bruges, men kun i dette særtilfælde.
Hvis den ene mængde ikke var en delmængde af den anden, måtte vi i
alle tilfælde bruge metode nr. 3, altså parring. De to metoder kan imidlertid ikke
51